Álgebra Ejemplos

$3^{\log_{3} (x^{3})} = \frac{1}{27}$

Paso 1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{3} = \frac{1}{27}$

Paso 2

Resta $\frac{1}{27}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - \frac{1}{27} = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{27}$ como ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = \frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Paso 3.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Paso 3.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Paso 3.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Paso 5

Establece $x - \frac{1}{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - \frac{1}{3}$ igual a $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

Paso 5.2

Suma $\frac{1}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 6

Establece $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ igual a $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Multiplica por el mínimo común denominador $9$ , luego simplifica.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x^{2} + 9 (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Paso 6.2.1.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.2.1.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Paso 6.2.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{x}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Paso 6.2.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Paso 6.2.1.2.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 6.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Paso 6.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$9 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Paso 6.2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.2.3

Sustituye los valores $a = 9$ , $b = 3$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.4

Simplifica.

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Paso 6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

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Paso 6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.4.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.4.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.4.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.2.4.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.4.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.4.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Paso 6.2.4.3

Simplifica $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Paso 6.2.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$