Álgebra Ejemplos

$\frac{\log_{8} (2) + \log_{81} (3)}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

El logaritmo en base $8$ de $2$ es $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \log_{81} (3)}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Paso 1.2

El logaritmo en base $81$ de $3$ es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Paso 1.3

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Paso 1.4

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Paso 1.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Paso 1.5.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{\frac{4}{12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Paso 1.5.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{4}{12} + \frac{3}{4 \cdot 3}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Paso 1.5.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{\frac{4}{12} + \frac{3}{12}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{4 + 3}{12}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Paso 1.7

Suma $4$ y $3$ .

$\frac{\frac{7}{12}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Paso 2

El logaritmo en base $\sqrt{3}$ de $27$ es $6$ .

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Paso 2.1

Reescribe como una ecuación.

$\frac{\frac{7}{12}}{\log_{\sqrt{3}} (27) = x}$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{\sqrt{3}} (27) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ no es igual a $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$\frac{\frac{7}{12}}{{\sqrt{3}}^{x} = 27}$

Paso 2.3

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$\frac{\frac{7}{12}}{{\sqrt{3}}^{x} = {\sqrt{3}}^{6}}$

Paso 2.4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$\frac{\frac{7}{12}}{x = 6}$

Paso 2.5

La variable $x$ es igual a $6$ .

$\frac{\frac{7}{12}}{6}$

Paso 3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{6}$

Paso 4

Multiplica $\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{7}{12}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{7}{12 \cdot 6}$

Paso 4.2

Multiplica $12$ por $6$ .

$\frac{7}{72}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{7}{72}$

Forma decimal:

$0.097\overline{2}$