Álgebra Ejemplos

$x^{2} + x - 1 > 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + x - 1 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 5

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{2} - 4 - 1 > 0$

Paso 7.1.3

$11$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} + 0 - 1 > 0$

Paso 7.2.3

$- 1$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

${(3)}^{2} + 3 - 1 > 0$

Paso 7.3.3

$11$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Verdadero

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Falso

$x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Verdadero

$x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Verdadero

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Falso

$x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Verdadero

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ o $x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} or x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Paso 10