Álgebra Ejemplos

${(\frac{1}{3})}^{2 x - 5} = 120$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{1}{3})}^{2 x - 5}) = \ln (120)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{1}{3})}^{2 x - 5})$ ; para ello, mueve $2 x - 5$ fuera del logaritmo.

$(2 x - 5) \ln (\frac{1}{3}) = \ln (120)$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\frac{1}{3})$ como $\ln (1) - \ln (3)$ .

$(2 x - 5) (\ln (1) - \ln (3)) = \ln (120)$

Paso 2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$(2 x - 5) (0 - \ln (3)) = \ln (120)$

Paso 2.4

Resta $\ln (3)$ de $0$ .

$(2 x - 5) (- \ln (3)) = \ln (120)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $(2 x - 5) (- \ln (3))$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (- \ln (3)) - 5 (- \ln (3)) = \ln (120)$

Paso 3.1.2

Multiplica.

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 x \ln (3) - 5 (- \ln (3)) = \ln (120)$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$- 2 x \ln (3) + 5 \ln (3) = \ln (120)$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- 2 x \ln (3) + 5 \ln (3) - \ln (120) = 0$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $5 \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x \ln (3) - \ln (120) = - 5 \ln (3)$

Paso 5.2

Suma $\ln (120)$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x \ln (3) = - 5 \ln (3) + \ln (120)$

Paso 6

Divide cada término en $- 2 x \ln (3) = - 5 \ln (3) + \ln (120)$ por $- 2 \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $- 2 x \ln (3) = - 5 \ln (3) + \ln (120)$ por $- 2 \ln (3)$ .

$\frac{- 2 x \ln (3)}{- 2 \ln (3)} = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x \ln (3)}{- 2 \ln (3)} = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Paso 6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Paso 6.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Paso 6.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 5}{- 2} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Paso 6.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{5}{2} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Paso 6.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{5}{2} - \frac{\ln (120)}{2 \ln (3)}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{5}{2} - \frac{\ln (120)}{2 \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 0.32111860 \dots$