Álgebra Ejemplos

$2 \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Paso 1

Reemplaza $2 \sec^{2} (x)$ con $2 (1 + \tan^{2} (x))$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Paso 3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.1

Resta $3$ de $2$ .

$2 \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 3.2

Suma $2 \tan^{2} (x)$ y $\tan^{2} (x)$ .

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 \tan^{2} (x) = 1$

Paso 5

Divide cada término en $3 \tan^{2} (x) = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $3 \tan^{2} (x) = 1$ por $3$ .

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.2.1.2

Divide $\tan^{2} (x)$ por $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Paso 6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 7

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 7.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 7.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 7.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 7.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 7.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 7.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 8.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 8.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 9

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 10

Resuelve $x$ en $\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 10.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.1

El valor exacto de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 10.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{6}$

Paso 10.4

Simplifica $π + \frac{π}{6}$ .

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Paso 10.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Paso 10.4.2

Combina fracciones.

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Paso 10.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Paso 10.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Paso 10.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Paso 10.4.3.2

Suma $6 π$ y $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 10.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 10.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 10.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 10.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 10.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 10.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 11.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.1

El valor exacto de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 11.3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Paso 11.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 11.4.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Paso 11.4.2

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{6}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 11.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 11.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 11.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 11.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 11.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 11.6

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 11.6.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + π$

Paso 11.6.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 11.6.3

Combina fracciones.

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Paso 11.6.3.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 11.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 11.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.6.4.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 11.6.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Paso 11.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 11.7

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Consolida las soluciones.

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Paso 13.1

Consolida $\frac{π}{6} + π n$ y $\frac{7 π}{6} + π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13.2

Consolida $\frac{5 π}{6} + π n$ y $\frac{5 π}{6} + π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$