Álgebra Ejemplos

$\tan (\frac{θ}{2}) = \sqrt{3}$

Paso 1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$\frac{θ}{2} = \arctan (\sqrt{3})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arctan (\sqrt{3})$ es $\frac{π}{3}$ .

$\frac{θ}{2} = \frac{π}{3}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$θ = 2 \frac{π}{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 5

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{θ}{2} = π + \frac{π}{3}$

Paso 6

Resuelve $θ$

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Paso 6.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (π + \frac{π}{3})$

Paso 6.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (π + \frac{π}{3})$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$θ = 2 (π + \frac{π}{3})$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $2 (π + \frac{π}{3})$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

Paso 6.2.2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (\frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3})$

Paso 6.2.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = 2 \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Paso 6.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$θ = 2 \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Paso 6.2.2.1.3.2

Suma $3 π$ y $π$ .

$θ = 2 \frac{4 π}{3}$

Paso 6.2.2.1.4

Multiplica $2 \frac{4 π}{3}$ .

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Paso 6.2.2.1.4.1

Combina $2$ y $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3}$

Paso 6.2.2.1.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3}$

Paso 7

Obtén el período de $\tan (\frac{θ}{2})$ .

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Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 7.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Paso 7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$π \cdot 2$

Paso 7.5

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$2 π$

Paso 8

El período de la función $\tan (\frac{θ}{2})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$