Álgebra Ejemplos

$\frac{9 x^{3} + 81 x^{2} + 126 x}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \div \frac{x^{2} + 9 x + 14}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{9 x^{3} + 81 x^{2} + 126 x}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Factoriza $9 x$ de $9 x^{3} + 81 x^{2} + 126 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $9 x$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{9 x (x^{2}) + 81 x^{2} + 126 x}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 2.1.2

Factoriza $9 x$ de $81 x^{2}$ .

$\frac{9 x (x^{2}) + 9 x (9 x) + 126 x}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 2.1.3

Factoriza $9 x$ de $126 x$ .

$\frac{9 x (x^{2}) + 9 x (9 x) + 9 x (14)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 2.1.4

Factoriza $9 x$ de $9 x (x^{2}) + 9 x (9 x)$ .

$\frac{9 x (x^{2} + 9 x) + 9 x (14)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 2.1.5

Factoriza $9 x$ de $9 x (x^{2} + 9 x) + 9 x (14)$ .

$\frac{9 x (x^{2} + 9 x + 14)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2} + 9 x + 14$ con el método AC.

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Paso 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $14$ y cuya suma es $9$ .

$2, 7$

Paso 2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{9 x ((x + 2) (x + 7))}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

$\frac{9 x (x + 2) (x + 7)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{9 x (x + 2) (x + 7)}{x^{2} - 2^{2}} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{9 x (x + 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{2} + 12 x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{9 x (x + 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{6 x (x) + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4.1.2

Factoriza $6 x$ de $12 x$ .

$\frac{9 x (x + 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{6 x (x) + 6 x (2)} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4.1.3

Factoriza $6 x$ de $6 x (x) + 6 x (2)$ .

$\frac{9 x (x + 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{6 x (x + 2)} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $3 x (x + 2)$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $3 x (x + 2)$ de $9 x (x + 2) (x + 7)$ .

$\frac{3 x (x + 2) ((3) (x + 7))}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{6 x (x + 2)} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4.2.2

Factoriza $3 x (x + 2)$ de $6 x (x + 2)$ .

$\frac{3 x (x + 2) ((3) (x + 7))}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{3 x (x + 2) (2)} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{3 x (x + 2) ((3) (x + 7))}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{3 x (x + 2) \cdot 2} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(3) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{2} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{(3) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{4}{2}$ .

$\frac{(3) (x + 7) \cdot 4}{(x + 2) (x - 2) \cdot 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12 (x + 7)}{(x + 2) (x - 2) \cdot 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $2$ de $12 (x + 7)$ .

$\frac{2 (6 (x + 7))}{(x + 2) (x - 2) \cdot 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.2.1

Factoriza $2$ de $(x + 2) (x - 2) \cdot 2$ .

$\frac{2 (6 (x + 7))}{2 \cdot ((x + 2) (x - 2))} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (6 (x + 7))}{2 \cdot ((x + 2) (x - 2))} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} - 2^{2}}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{6 (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} + 9 x + 14}$

Paso 6

Factoriza $x^{2} + 9 x + 14$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $14$ y cuya suma es $9$ .

$2, 7$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 7)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $x + 7$ de $6 (x + 7)$ .

$\frac{(x + 7) \cdot 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 7)}$

Paso 7.1.2

Factoriza $x + 7$ de $(x + 2) (x + 7)$ .

$\frac{(x + 7) \cdot 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 7) (x + 2)}$

Paso 7.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 7) \cdot 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 7) (x + 2)}$

Paso 7.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $(x + 2) (x - 2)$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$6 \frac{1}{x + 2}$

Paso 7.3

Combina $6$ y $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{6}{x + 2}$