Álgebra Ejemplos

$f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$

Paso 1

Escribe $f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$ como una ecuación.

$y = 4 \sin (2 x + 5) - 7$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 4 \sin (2 y + 5) - 7$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $4 \sin (2 y + 5) - 7 = x$ .

$4 \sin (2 y + 5) - 7 = x$

Paso 3.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$4 \sin (2 y + 5) = x + 7$

Paso 3.3

Divide cada término en $4 \sin (2 y + 5) = x + 7$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $4 \sin (2 y + 5) = x + 7$ por $4$ .

$\frac{4 \sin (2 y + 5)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sin (2 y + 5)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $\sin (2 y + 5)$ por $1$ .

$\sin (2 y + 5) = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Paso 3.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$2 y + 5 = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})$

Paso 3.5

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4}) - 5$

Paso 3.6

Divide cada término en $2 y = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4}) - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $2 y = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4}) - 5$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$ es la inversa de $f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5) - 7}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5) - 7 + 7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 5.2.3.2

Combina los términos opuestos en $4 \sin (2 x + 5) - 7 + 7$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Suma $- 7$ y $7$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5) + 0}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 5.2.3.2.2

Suma $4 \sin (2 x + 5)$ y $0$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5)}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 5.2.3.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5)}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 5.2.3.3.2

Divide $\sin (2 x + 5)$ por $1$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\sin (2 x + 5))}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) + 5) - 7$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x + 7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) + 5) - 7$

Paso 5.3.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5}{2}) + 5) - 7$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5}{2}) + 5) - 7$

Paso 5.3.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5 + 5) - 7$

Paso 5.3.3.2

Combina los términos opuestos en $\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5 + 5$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 7}{4}) + 0) - 7$

Paso 5.3.3.2.2

Suma $\arcsin (\frac{x + 7}{4})$ y $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 7}{4})) - 7$

Paso 5.3.3.3

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 (\frac{x + 7}{4}) - 7$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 (\frac{x + 7}{4}) - 7$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = x + 7 - 7$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 7 - 7$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $7$ de $7$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$ es la inversa de $f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$