Álgebra Ejemplos

$y = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$

Paso 1

Factoriza $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Paso 1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$2 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$

Paso 1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot 1 - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$

Paso 1.3.4

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$2 - 7 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 12$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$2 - 7 - 7 \cdot 1 + 12$

Paso 1.3.6

Resta $7$ de $2$ .

$- 5 - 7 \cdot 1 + 12$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$- 5 - 7 + 12$

Paso 1.3.8

Resta $7$ de $- 5$ .

$- 12 + 12$

Paso 1.3.9

Suma $- 12$ y $12$ .

$0$

Paso 1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12}{x - 1}$

Paso 1.5

Divide $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ por $x - 1$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$12$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x^{2} + 5 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 12 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	+	$12$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 12 x + 12$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	-	$12$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	-	$12$
										$0$

Paso 1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} - 5 x - 12$

Paso 1.6

Escribe $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ como un conjunto de factores.

$y = (x - 1) (2 x^{2} - 5 x - 12)$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$y = (x - 1) (2 x^{2} - 5 (x) - 12)$

Paso 2.1.1.2

Reescribe $- 5$ como $3$ más $- 8$

$y = (x - 1) (2 x^{2} + (3 - 8) x - 12)$

Paso 2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = (x - 1) (2 x^{2} + 3 x - 8 x - 12)$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = (x - 1) ((2 x^{2} + 3 x) - 8 x - 12)$

Paso 2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = (x - 1) (x (2 x + 3) - 4 (2 x + 3))$

Paso 2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 3$ .

$y = (x - 1) ((2 x + 3) (x - 4))$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y = (x - 1) (2 x + 3) (x - 4)$