Álgebra Ejemplos

$9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y - 1 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y = 1$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $9 y^{2} - 108 y$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = - 108$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 108}{2 \cdot 9}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 108$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 108$ .

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot 9}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 (9)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot 9}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 54}{9}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 54$ y $9$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 54$ .

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 6}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 6$ por $1$ .

$d = - 6$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 108)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 108$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot 9}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{11664}{36}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $11664$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 324$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $324$ .

$e = 0 - 324$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $324$ de $0$ .

$e = - 324$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(y - 6)}^{2} - 324$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 324$

Paso 1.3

Sustituye $9 {(y - 6)}^{2} - 324$ por $9 y^{2} - 108 y$ en la ecuación $9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y = 1$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 324 - 25 x^{2} - 100 x = 1$

Paso 1.4

Mueve $- 324$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $324$ a ambos lados.

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 x^{2} - 100 x = 1 + 324$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- 25 x^{2} - 100 x$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 100$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (- 25)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 50}{- 25}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 50$ y $- 25$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $- 25$ de $- 50$ .

$d = \frac{- 25 (2)}{- 25}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $- 25$ de $- 25$ .

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 100$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $10000$ por $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $100$ .

$e = 100$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$

Paso 1.6

Sustituye $- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$ por $- 25 x^{2} - 100 x$ en la ecuación $9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y = 1$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} + 100 = 1 + 324$

Paso 1.7

Mueve $100$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $100$ a ambos lados.

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} = 1 + 324 - 100$

Paso 1.8

Simplifica $1 + 324 - 100$ .

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Paso 1.8.1

Suma $1$ y $324$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} = 325 - 100$

Paso 1.8.2

Resta $100$ de $325$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} = 225$

Paso 1.9

Divide cada término por $225$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{9 {(y - 6)}^{2}}{225} - \frac{25 {(x + 2)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y - 6)}^{2}}{25} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 6$

$h = - 2$

Paso 4

Obtén los vértices.

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Paso 4.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 4.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 11)$

Paso 4.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 4.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 1)$

Paso 4.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(- 2, 11), (- 2, 1)$

Paso 5