Álgebra Ejemplos

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ $x + y - 1 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x - 1 = - y$

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

Paso 1.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - y + 1$

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- y + 1$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ por $- y + 1$ .

${((- y + 1) - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${((- y + 1) - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Resta $2$ de $1$ .

${(- y - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe ${(- y - 1)}^{2}$ como $(- y - 1) (- y - 1)$ .

$(- y - 1) (- y - 1) + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.3

Expande $(- y - 1) (- y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 \cdot (- 1 y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.4.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.4.1.2.1

Mueve $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.4.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.4.1.4

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.4.1.5

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.4.1.5.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.4.1.6

Multiplica $- 1 (- y)$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.4.1.6.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.4.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + y + y + 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $y$ y $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Reescribe ${(y - 3)}^{2}$ como $(y - 3) (y - 3)$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + (y - 3) (y - 3) = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.6

Expande $(y - 3) (y - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + y (y - 3) - 3 (y - 3) = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3) = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.7.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.7.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3 = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.7.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9 = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9 = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.1.7.2

Resta $3 y$ de $- 3 y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 6 y + 9 = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 6 y + 9 = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 6 y + 9 = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $y^{2}$ y $y^{2}$ .

$2 y^{2} + 2 y + 1 - 6 y + 9 = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.2.2

Resta $6 y$ de $2 y$ .

$2 y^{2} - 4 y + 1 + 9 = 16$

$x = - y + 1$

Paso 2.2.1.2.3

Suma $1$ y $9$ .

$2 y^{2} - 4 y + 10 = 16$

$x = - y + 1$

$2 y^{2} - 4 y + 10 = 16$

$x = - y + 1$

$2 y^{2} - 4 y + 10 = 16$

$x = - y + 1$

$2 y^{2} - 4 y + 10 = 16$

$x = - y + 1$

$2 y^{2} - 4 y + 10 = 16$

$x = - y + 1$

Paso 3

Resuelve $y$ en $2 y^{2} - 4 y + 10 = 16$ .

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Paso 3.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} - 4 y + 10 - 16 = 0$

$x = - y + 1$

Paso 3.2

Resta $16$ de $10$ .

$2 y^{2} - 4 y - 6 = 0$

$x = - y + 1$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $2 y^{2} - 4 y - 6$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 y^{2}$ .

$2 (y^{2}) - 4 y - 6 = 0$

$x = - y + 1$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 4 y$ .

$2 (y^{2}) + 2 (- 2 y) - 6 = 0$

$x = - y + 1$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$2 y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 3 = 0$

$x = - y + 1$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $2$ de $2 y^{2} + 2 (- 2 y)$ .

$2 (y^{2} - 2 y) + 2 \cdot - 3 = 0$

$x = - y + 1$

Paso 3.3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (y^{2} - 2 y) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (y^{2} - 2 y - 3) = 0$

$x = - y + 1$

$2 (y^{2} - 2 y - 3) = 0$

$x = - y + 1$

Paso 3.3.2

Factoriza.

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $y^{2} - 2 y - 3$ con el método AC.

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Paso 3.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

$x = - y + 1$

Paso 3.3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((y - 3) (y + 1)) = 0$

$x = - y + 1$

$2 ((y - 3) (y + 1)) = 0$

$x = - y + 1$

Paso 3.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (y - 3) (y + 1) = 0$

$x = - y + 1$

$2 (y - 3) (y + 1) = 0$

$x = - y + 1$

$2 (y - 3) (y + 1) = 0$

$x = - y + 1$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

$x = - y + 1$

Paso 3.5

Establece $y - 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.5.1

Establece $y - 3$ igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

$x = - y + 1$

Paso 3.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3$

$x = - y + 1$

$y = 3$

$x = - y + 1$

Paso 3.6

Establece $y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.6.1

Establece $y + 1$ igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

$x = - y + 1$

Paso 3.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

$x = - y + 1$

$y = - 1$

$x = - y + 1$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (y - 3) (y + 1) = 0$ verdadera.

$y = 3, - 1$

$x = - y + 1$

$y = 3, - 1$

$x = - y + 1$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - y + 1$ por $3$ .

$x = - (3) + 1$

$y = 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- (3) + 1$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x = - 3 + 1$

$y = 3$

Paso 4.2.1.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$x = - 2$

$y = 3$

$x = - 2$

$y = 3$

$x = - 2$

$y = 3$

$x = - 2$

$y = 3$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - y + 1$ por $- 1$ .

$x = - (- 1) + 1$

$y = - 1$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $- (- 1) + 1$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 + 1$

$y = - 1$

Paso 5.2.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- 2, 3)$

$(2, - 1)$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- 2, 3), (2, - 1)$

Forma de la ecuación:

$x = - 2, y = 3$

$x = 2, y = - 1$

Paso 8