Álgebra Ejemplos

${(6 x^{2} + 7 x)}^{2} - 4 (6 x^{2} + 7 x) - 5$

Paso 1

Sea $u = 6 x^{2} + 7 x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $6 x^{2} + 7 x$ .

$u^{2} - 4 u - 5$

Paso 2

Factoriza $u^{2} - 4 u - 5$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 5, 1$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 5) (u + 1)$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x^{2} + 7 x$ .

$(6 x^{2} + 7 x - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 5 = - 30$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$(6 x^{2} + 7 (x) - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Paso 4.1.2

Reescribe $7$ como $- 3$ más $10$

$(6 x^{2} + (- 3 + 10) x - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(6 x^{2} - 3 x + 10 x - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$((6 x^{2} - 3 x) + 10 x - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(3 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Paso 5

Factoriza.

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Paso 5.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + 7 (x) + 1)$

Paso 5.1.1.2

Reescribe $7$ como $1$ más $6$

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + (1 + 6) x + 1)$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + 1 x + 6 x + 1)$

Paso 5.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + x + 6 x + 1)$

Paso 5.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x - 1) (3 x + 5) ((6 x^{2} + x) + 6 x + 1)$

Paso 5.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(2 x - 1) (3 x + 5) (x (6 x + 1) + 1 (6 x + 1))$

Paso 5.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $6 x + 1$ .

$(2 x - 1) (3 x + 5) ((6 x + 1) (x + 1))$

Paso 5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x + 1) (x + 1)$