Álgebra Ejemplos

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 (t^{2} - 9) = - 5$

Paso 1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 1.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} + 16 \cdot - 9 = - 5$

Paso 1.1.1.2

Multiplica $16$ por $- 9$ .

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 = - 5$

Paso 1.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3

Simplifica $3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 + 5$ .

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe ${(t^{2} - 9)}^{2}$ como $(t^{2} - 9) (t^{2} - 9)$ .

$3 ((t^{2} - 9) (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.1.2

Expande $(t^{2} - 9) (t^{2} - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (t^{2} (t^{2} - 9) - 9 (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.3.1.1

Multiplica $t^{2}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$3 (t^{4} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.1.3.1.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $t^{2}$ .

$3 (t^{4} - 9 \cdot t^{2} - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.1.3.1.3

Multiplica $- 9$ por $- 9$ .

$3 (t^{4} - 9 t^{2} - 9 t^{2} + 81) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.1.3.2

Resta $9 t^{2}$ de $- 9 t^{2}$ .

$3 (t^{4} - 18 t^{2} + 81) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 t^{4} + 3 (- 18 t^{2}) + 3 \cdot 81 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.1.5

Simplifica.

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Paso 1.3.1.5.1

Multiplica $- 18$ por $3$ .

$3 t^{4} - 54 t^{2} + 3 \cdot 81 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.1.5.2

Multiplica $3$ por $81$ .

$3 t^{4} - 54 t^{2} + 243 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.2

Suma $- 54 t^{2}$ y $16 t^{2}$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 243 - 144 + 5 = 0$

Paso 1.3.3

Resta $144$ de $243$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 99 + 5 = 0$

Paso 1.3.4

Suma $99$ y $5$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 104 = 0$

Paso 2

Sustituye $u = t^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$3 u^{2} - 38 u + 104 = 0$

$u = t^{2}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 104 = 312$ y cuya suma es $b = - 38$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 38$ de $- 38 u$ .

$3 u^{2} - 38 u + 104 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 38$ como $- 12$ más $- 26$

$3 u^{2} + (- 12 - 26) u + 104 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} - 12 u - 26 u + 104 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} - 12 u) - 26 u + 104 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 u (u - 4) - 26 (u - 4) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u - 4$ .

$(u - 4) (3 u - 26) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$3 u - 26 = 0$

Paso 5

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Paso 5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

Paso 6

Establece $3 u - 26$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.1

Establece $3 u - 26$ igual a $0$ .

$3 u - 26 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $3 u - 26 = 0$ en $u$ .

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Paso 6.2.1

Suma $26$ a ambos lados de la ecuación.

$3 u = 26$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $3 u = 26$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $3 u = 26$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{26}{3}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 u}{3} = \frac{26}{3}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{26}{3}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 4) (3 u - 26) = 0$ verdadera.

$u = 4, \frac{26}{3}$

Paso 8

Sustituye el valor real de $u = t^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$t^{2} = 4$

${(t^{2})}^{1} = \frac{26}{3}$

Paso 9

Resuelve la primera ecuación para $t$ .

$t^{2} = 4$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Paso 10.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$t = \pm \sqrt{4}$

Paso 10.2

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 10.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 10.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$t = \pm 2$

Paso 10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = 2$

Paso 10.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - 2$

Paso 10.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = 2, - 2$

Paso 11

Resuelve la segunda ecuación para $t$ .

${(t^{2})}^{1} = \frac{26}{3}$

Paso 12

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$t^{2} = \frac{26}{3}$

Paso 12.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$t = \pm \sqrt{\frac{26}{3}}$

Paso 12.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{26}{3}}$ .

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Paso 12.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{26}{3}}$ como $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$

Paso 12.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 12.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 12.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 12.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 12.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 12.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 12.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 12.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 12.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 12.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3}$

Paso 12.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$t = \pm \frac{\sqrt{26 \cdot 3}}{3}$

Paso 12.3.4.2

Multiplica $26$ por $3$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{78}}{3}$

Paso 12.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 12.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = \frac{\sqrt{78}}{3}$

Paso 12.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Paso 12.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Paso 13

La solución a $3 t^{4} - 38 t^{2} + 104 = 0$ es $t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$ .

$t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Forma decimal:

$t = 2, - 2, 2.94392028 \dots, - 2.94392028 \dots$