Álgebra Ejemplos

$\sqrt{2} \cdot x^{2} + 7 x + 5 \sqrt{2} = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = \sqrt{2}$ , $b = 7$ y $c = 5 \sqrt{2}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (\sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2}))}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 20 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Paso 3.1.3.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.4.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.5

Multiplica $- 20$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.6

Resta $40$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.7

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.3.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 3.3.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 3.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.3.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.7.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Paso 3.5

Factoriza $- 1$ de $- 7 \pm 3$ .

$x = \frac{- 1 (- (- 7 \pm 3)) \sqrt{2}}{4}$

Paso 3.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 (- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Paso 3.7

Multiplica $- 7 \pm 3$ por $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Paso 3.8

Reordena los factores en $\frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ .

$x = \frac{\sqrt{2} (- 7 \pm 3)}{4}$

Paso 4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \sqrt{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \sqrt{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$x = - 1.41421356 \dots, - 3.53553390 \dots$