Álgebra Ejemplos

$4 y^{2} + x = 56 y - 194$ ?

Paso 1

Resta $4 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 56 y - 194 - 4 y^{2}$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Simplifica $56 y - 194 - 4 y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Mueve $- 194$ .

$x = 56 y - 4 y^{2} - 194$

Paso 2.1.1.2

Reordena $56 y$ y $- 4 y^{2}$ .

$x = - 4 y^{2} + 56 y - 194$

Paso 2.1.2

Completa el cuadrado de $- 4 y^{2} + 56 y - 194$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 4$

$b = 56$

$c = - 194$

Paso 2.1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{56}{2 \cdot - 4}$

Paso 2.1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $56$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $56$ .

$d = \frac{2 \cdot 28}{2 \cdot - 4}$

Paso 2.1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 28}{2 (- 4)}$

Paso 2.1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 28}{2 \cdot - 4}$

Paso 2.1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{28}{- 4}$

Paso 2.1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $28$ y $- 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$d = \frac{4 (7)}{- 4}$

Paso 2.1.2.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{7}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 7$

Paso 2.1.2.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$d = - 7$

Paso 2.1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 194 - \frac{56^{2}}{4 \cdot - 4}$

Paso 2.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.4.2.1.1

Eleva $56$ a la potencia de $2$ .

$e = - 194 - \frac{3136}{4 \cdot - 4}$

Paso 2.1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$e = - 194 - \frac{3136}{- 16}$

Paso 2.1.2.4.2.1.3

Divide $3136$ por $- 16$ .

$e = - 194 - - 196$

Paso 2.1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 196$ .

$e = - 194 + 196$

Paso 2.1.2.4.2.2

Suma $- 194$ y $196$ .

$e = 2$

Paso 2.1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 4 {(y - 7)}^{2} + 2$ .

$- 4 {(y - 7)}^{2} + 2$

Paso 2.1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - 4 {(y - 7)}^{2} + 2$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 4$

$h = 2$

$k = 7$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, 7)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\frac{1}{- 16}$

Paso 2.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{16}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{31}{16}, 7)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 7$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{33}{16}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(2, 7)$

Foco: $(\frac{31}{16}, 7)$

Eje de simetría: $y = 7$

Directriz: $x = \frac{33}{16}$

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(2, 7)$

Foco: $(\frac{31}{16}, 7)$

Eje de simetría: $y = 7$

Directriz: $x = \frac{33}{16}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = \frac{14 + \sqrt{- x + 2}}{2}$ . En este caso, el punto es $(0, 7.70710678)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{14 + \sqrt{- (0) + 2}}{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{14 + \sqrt{0 + 2}}{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = \frac{14 + \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.2.2

La respuesta final es $\frac{14 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{14 + \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.3

Convierte $\frac{14 + \sqrt{2}}{2}$ a decimal.

$= 7.70710678$

Paso 3.2

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = \frac{14 - \sqrt{- x + 2}}{2}$ . En este caso, el punto es $(0, 6.29289321)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{14 - \sqrt{- (0) + 2}}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{14 - \sqrt{0 + 2}}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = \frac{14 - \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.2.2.2

La respuesta final es $\frac{14 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{14 - \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.2.3

Convierte $\frac{14 - \sqrt{2}}{2}$ a decimal.

$= 6.29289321$

Paso 3.3

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = \frac{14 + \sqrt{- x + 2}}{2}$ . En este caso, el punto es $(1, 7.5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{14 + \sqrt{- (1) + 2}}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{14 + \sqrt{- 1 + 2}}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$f (1) = \frac{14 + \sqrt{1}}{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = \frac{14 + 1}{2}$

Paso 3.3.2.1.4

Suma $14$ y $1$ .

$f (1) = \frac{15}{2}$

Paso 3.3.2.2

La respuesta final es $\frac{15}{2}$ .

$y = \frac{15}{2}$

Paso 3.3.3

Convierte $\frac{15}{2}$ a decimal.

$= 7.5$

Paso 3.4

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = \frac{14 - \sqrt{- x + 2}}{2}$ . En este caso, el punto es $(1, 6.5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{14 - \sqrt{- (1) + 2}}{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{14 - \sqrt{- 1 + 2}}{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$f (1) = \frac{14 - \sqrt{1}}{2}$

Paso 3.4.2.1.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = \frac{14 - 1 \cdot 1}{2}$

Paso 3.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{14 - 1}{2}$

Paso 3.4.2.1.5

Resta $1$ de $14$ .

$f (1) = \frac{13}{2}$

Paso 3.4.2.2

La respuesta final es $\frac{13}{2}$ .

$y = \frac{13}{2}$

Paso 3.4.3

Convierte $\frac{13}{2}$ a decimal.

$= 6.5$

Paso 3.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 7.71 \\ 0 & 6.29 \\ 1 & 7.5 \\ 1 & 6.5 \\ 2 & 7 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(2, 7)$

Foco: $(\frac{31}{16}, 7)$

Eje de simetría: $y = 7$

Directriz: $x = \frac{33}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 7.71 \\ 0 & 6.29 \\ 1 & 7.5 \\ 1 & 6.5 \\ 2 & 7 \end{array}$

Paso 5