Álgebra Ejemplos

$\frac{(x + 5) (x - 4)}{(x - 3) (x + 7)} \leq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 5$

$x = 4$

$x = 3$

$x = - 7$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = - 5, 4, 3, - 7$

Paso 8

Obtén el dominio de $\frac{(x + 5) (x - 4)}{(x - 3) (x + 7)}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{(x + 5) (x - 4)}{(x - 3) (x + 7)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x - 3) (x + 7) = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x$

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Paso 8.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 8.2.2

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 8.2.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 8.2.3

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.3.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 8.2.3.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 8.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 7) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 7$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$\frac{((- 10) + 5) ((- 10) - 4)}{((- 10) - 3) ((- 10) + 7)} \leq 0$

Paso 10.1.3

$1.\overline{794871}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{((- 6) + 5) ((- 6) - 4)}{((- 6) - 3) ((- 6) + 7)} \leq 0$

Paso 10.2.3

$- 1.\overline{1}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{((0) + 5) ((0) - 4)}{((0) - 3) ((0) + 7)} \leq 0$

Paso 10.3.3

$0.\overline{952380}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3.5$

Paso 10.4.2

Reemplaza $x$ con $3.5$ en la desigualdad original.

$\frac{((3.5) + 5) ((3.5) - 4)}{((3.5) - 3) ((3.5) + 7)} \leq 0$

Paso 10.4.3

$- 0.\overline{809523}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 10.5.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{((6) + 5) ((6) - 4)}{((6) - 3) ((6) + 7)} \leq 0$

Paso 10.5.3

$0.\overline{564102}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 3$ Falso

$3 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 3$ Falso

$3 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 7 < x \leq - 5$ o $3 < x \leq 4$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 7 < x \leq - 5 or 3 < x \leq 4$

Notación de intervalo:

$(- 7, - 5] \cup (3, 4]$

Paso 13