Álgebra Ejemplos

$6 x^{2} - x - 12 \geq - 10$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$6 x^{2} - x - 12 = - 10$

Paso 2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} - x - 12 + 10 = 0$

Paso 3

Suma $- 12$ y $10$ .

$6 x^{2} - x - 2 = 0$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 2 = - 12$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$6 x^{2} - (x) - 2 = 0$

Paso 4.1.2

Reescribe $- 1$ como $3$ más $- 4$

$6 x^{2} + (3 - 4) x - 2 = 0$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(6 x^{2} + 3 x) - 4 x - 2 = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = 0$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (3 x - 2) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Paso 6

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 7

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $3 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (3 x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$6 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12 \geq - 10$

Paso 10.1.3

$45$ del lado izquierdo es mayor que $- 10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$6 {(0)}^{2} - (0) - 12 \geq - 10$

Paso 10.2.3

$- 12$ del lado izquierdo es menor que $- 10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$6 {(3)}^{2} - (3) - 12 \geq - 10$

Paso 10.3.3

$39$ del lado izquierdo es mayor que $- 10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{1}{2}$ Verdadero

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ Falso

$x > \frac{2}{3}$ Verdadero

$x < - \frac{1}{2}$ Verdadero

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ Falso

$x > \frac{2}{3}$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - \frac{1}{2}$ o $x \geq \frac{2}{3}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - \frac{1}{2} or x \geq \frac{2}{3}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$

Paso 13