Álgebra Ejemplos

$g (x) = \frac{1}{2} \sqrt[2]{x + 1} + 4$

Paso 1

Escribe $g (x) = \frac{1}{2} \sqrt[2]{x + 1} + 4$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[2]{x + 1} + 4$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 1} + 4$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 1} + 4 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 1} + 4 = x$

Paso 3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 1} = x - 4$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 1})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 1}$ como ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(\frac{1}{2} \cdot {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Combina fracciones.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{{(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{{(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(y + 1)}^{1}}{2^{2}} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2.2

Simplifica.

$\frac{y + 1}{2^{2}} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{y + 1}{4} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 4)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$\frac{y + 1}{4} = (x - 4) (x - 4)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 1}{4} = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 1}{4} = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 1}{4} = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{y + 1}{4} = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{y + 1}{4} = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$\frac{y + 1}{4} = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{y + 1}{4} = x^{2} - 8 x + 16$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y + 1}{4} = 4 (x^{2} - 8 x + 16)$

Paso 3.5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y + 1}{4} = 4 (x^{2} - 8 x + 16)$

Paso 3.5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y + 1 = 4 (x^{2} - 8 x + 16)$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.1

Simplifica $4 (x^{2} - 8 x + 16)$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = 4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16$

Paso 3.5.2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1.2.1

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$y + 1 = 4 x^{2} - 32 x + 4 \cdot 16$

Paso 3.5.2.2.1.2.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$y + 1 = 4 x^{2} - 32 x + 64$

Paso 3.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 4 x^{2} - 32 x + 64 - 1$

Paso 3.5.3.2

Resta $1$ de $64$ .

$y = 4 x^{2} - 32 x + 63$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $g^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$g^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 32 x + 63$

Paso 5

Verifica si $g^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 32 x + 63$ es la inversa de $g (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $g^{- 1} (g (x)) = x$ y $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $g^{- 1} (g (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$g^{- 1} (g (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4)$ mediante la sustitución del valor de $g$ en $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4)}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{x + 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 {(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + 4)}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 {(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2})}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.3

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 {(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2})}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 {(\frac{\sqrt{x + 1} + 4 \cdot 2}{2})}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 {(\frac{\sqrt{x + 1} + 8}{2})}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.6

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{x + 1} + 8}{2}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 (\frac{{(\sqrt{x + 1} + 8)}^{2}}{2^{2}}) - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 (\frac{{(\sqrt{x + 1} + 8)}^{2}}{4}) - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.8

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.3.8.1

Cancela el factor común.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 (\frac{{(\sqrt{x + 1} + 8)}^{2}}{4}) - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.8.2

Reescribe la expresión.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {(\sqrt{x + 1} + 8)}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.9

Reescribe ${(\sqrt{x + 1} + 8)}^{2}$ como $(\sqrt{x + 1} + 8) (\sqrt{x + 1} + 8)$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = (\sqrt{x + 1} + 8) (\sqrt{x + 1} + 8) - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.10

Expande $(\sqrt{x + 1} + 8) (\sqrt{x + 1} + 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = \sqrt{x + 1} (\sqrt{x + 1} + 8) + 8 (\sqrt{x + 1} + 8) - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 (\sqrt{x + 1} + 8) - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.11.1.1

Multiplica $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ .

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Paso 5.2.3.11.1.1.1

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.1.1.2

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {\sqrt{x + 1}}^{2} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.1.2

Reescribe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

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Paso 5.2.3.11.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.11.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = (x + 1) + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.1.2.5

Simplifica.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 1 + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.1.3

Mueve $8$ a la izquierda de $\sqrt{x + 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 1 + 8 \cdot \sqrt{x + 1} + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.1.4

Multiplica $8$ por $8$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 1 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \sqrt{x + 1} + 64 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.2

Suma $1$ y $64$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \sqrt{x + 1} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.11.3

Suma $8 \sqrt{x + 1}$ y $8 \sqrt{x + 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{x + 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 32 (\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + 4) + 63$

Paso 5.2.3.13

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 32 (\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}) + 63$

Paso 5.2.3.14

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 32 (\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}) + 63$

Paso 5.2.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 32 \frac{\sqrt{x + 1} + 4 \cdot 2}{2} + 63$

Paso 5.2.3.16

Multiplica $4$ por $2$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 32 \frac{\sqrt{x + 1} + 8}{2} + 63$

Paso 5.2.3.17

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.17.1

Factoriza $2$ de $- 32$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} + 2 (- 16) (\frac{\sqrt{x + 1} + 8}{2}) + 63$

Paso 5.2.3.17.2

Cancela el factor común.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} + 2 \cdot (- 16 \frac{\sqrt{x + 1} + 8}{2}) + 63$

Paso 5.2.3.17.3

Reescribe la expresión.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 16 (\sqrt{x + 1} + 8) + 63$

Paso 5.2.3.18

Aplica la propiedad distributiva.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 16 \sqrt{x + 1} - 16 \cdot 8 + 63$

Paso 5.2.3.19

Multiplica $- 16$ por $8$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 16 \sqrt{x + 1} - 128 + 63$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 16 \sqrt{x + 1} - 128 + 63$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Resta $16 \sqrt{x + 1}$ de $16 \sqrt{x + 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 0 - 128 + 63$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $x + 65$ y $0$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 - 128 + 63$

Paso 5.2.4.2

Resta $128$ de $65$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x - 63 + 63$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 63 + 63$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 63$ y $63$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x$

Paso 5.3

Evalúa $g (g^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$g (g^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $g (4 x^{2} - 32 x + 63)$ mediante la sustitución del valor de $g^{- 1}$ en $g$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(4 x^{2} - 32 x + 63) + 1} + 4$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Suma $63$ y $1$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} - 32 x + 64} + 4$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 32 x + 64$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 (x^{2}) - 32 x + 64} + 4$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $4$ de $- 32 x$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) + 64} + 4$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $4$ de $64$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16} + 4$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 8 x)$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 (x^{2} - 8 x) + 4 \cdot 16} + 4$

Paso 5.3.3.2.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} - 8 x) + 4 \cdot 16$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16)} + 4$

Paso 5.3.3.3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.3.3.3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 4^{2})} + 4$

Paso 5.3.3.3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe el polinomio.

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})} + 4$

Paso 5.3.3.3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 {(x - 4)}^{2}} + 4$

Paso 5.3.3.4

Reescribe $4 {(x - 4)}^{2}$ como ${(2 (x - 4))}^{2}$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 (x - 4))}^{2}} + 4$

Paso 5.3.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x - 4)) + 4$

Paso 5.3.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Cancela el factor común.

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x - 4)) + 4$

Paso 5.3.3.6.2

Reescribe la expresión.

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = x - 4 + 4$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 4 + 4$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = x$

Paso 5.4

Como $g^{- 1} (g (x)) = x$ y $g (g^{- 1} (x)) = x$ , entonces $g^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 32 x + 63$ es la inversa de $g (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4$ .

$g^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 32 x + 63$