Álgebra Ejemplos

$\sin (θ) < 0$ , $\cos (θ) < 0$

Paso 1

Resuelve $θ$

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Paso 1.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ < \arcsin (0)$

Paso 1.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$θ < 0$

Paso 1.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - 0$

Paso 1.4

Resta $0$ de $π$ .

$θ = π$

Paso 1.5

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 1.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.6

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.7

Consolida las respuestas.

$θ = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$

Paso 1.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.9.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < θ < π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < θ < π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$θ = 2$

Paso 1.9.1.2

Reemplaza $θ$ con $2$ en la desigualdad original.

$\sin (2) < 0$

Paso 1.9.1.3

$0.90929742$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.9.2

Prueba un valor en el intervalo $π < θ < 2 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $π < θ < 2 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$θ = 5$

Paso 1.9.2.2

Reemplaza $θ$ con $5$ en la desigualdad original.

$\sin (5) < 0$

Paso 1.9.2.3

$- 0.95892427$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 1.9.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < θ < π$ Falso

$π < θ < 2 π$ Verdadero

$0 < θ < π$ Falso

$π < θ < 2 π$ Verdadero

Paso 1.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Resuelve $θ$

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Paso 2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ < \arccos (0)$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$θ < \frac{π}{2}$

Paso 2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.5

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.6

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.7

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

Paso 2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$θ = 3$

Paso 2.9.1.2

Reemplaza $θ$ con $3$ en la desigualdad original.

$\sin (3) < 0$

Paso 2.9.1.3

$0.14112$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$θ = 6$

Paso 2.9.2.2

Reemplaza $θ$ con $6$ en la desigualdad original.

$\sin (6) < 0$

Paso 2.9.2.3

$- 0.27941549$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.9.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ Falso

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Verdadero

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ Falso

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Verdadero

Paso 2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < θ < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Traza cada gráfica en el mismo sistema de coordenadas.

$\sin (θ) < 0$

$\cos (θ) < 0$

Paso 4