Álgebra Ejemplos

$\frac{4 x - 2}{x + 1} \geq - 2$

Paso 1

Suma $2$ a ambos lados de la desigualdad.

$\frac{4 x - 2}{x + 1} + 2 \geq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{4 x - 2}{x + 1} + 2$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $4 x - 2$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 2}{x + 1} + 2 \geq 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{x + 1} + 2 \geq 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 1} + 2 \geq 0$

Paso 2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 1} + \frac{2 (x + 1)}{x + 1} \geq 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (2 x - 1) + 2 (x + 1)}{x + 1} \geq 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Factoriza $2$ de $2 (2 x - 1) + 2 (x + 1)$ .

$\frac{2 (2 x - 1 + x + 1)}{x + 1} \geq 0$

Paso 2.4.2

Suma $2 x$ y $x$ .

$\frac{2 (3 x - 1 + 1)}{x + 1} \geq 0$

Paso 2.4.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{2 (3 x + 0)}{x + 1} \geq 0$

Paso 2.4.4

Suma $3 x$ y $0$ .

$\frac{2 \cdot 3 x}{x + 1} \geq 0$

Paso 2.4.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 x}{x + 1} \geq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$6 x = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 4

Divide cada término en $6 x = 0$ por $6$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $6 x = 0$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$x = 0$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = - 1$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 1$

Paso 8

Obtén el dominio de $\frac{6 x}{x + 1}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{6 x}{x + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 1 = 0$

Paso 8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{4 (- 4) - 2}{(- 4) + 1} \geq - 2$

Paso 10.1.3

$6$ del lado izquierdo es mayor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.5$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.5$ en la desigualdad original.

$\frac{4 (- 0.5) - 2}{(- 0.5) + 1} \geq - 2$

Paso 10.2.3

$- 8$ del lado izquierdo es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{4 (2) - 2}{(2) + 1} \geq - 2$

Paso 10.3.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 1$ o $x \geq 0$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 1 or x \geq 0$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup [0, \infty)$

Paso 13