Álgebra Ejemplos

$\frac{\frac{4}{x^{2} - 9} + \frac{2}{x - 3}}{\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3}}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{\frac{4}{x^{2} - 9} + \frac{2}{x - 3}}{\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3}}$ por $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)}$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{\frac{4}{x^{2} - 9} + \frac{2}{x - 3}}{\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3}}$

Paso 1.2

Combinar.

$\frac{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) (\frac{4}{x^{2} - 9} + \frac{2}{x - 3})}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) (\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3})}$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{4}{x^{2} - 9} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{2}{x - 3}}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Paso 3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 9$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2} - 9$ de $(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x - 3) (x + 3)) \frac{4}{x^{2} - 9} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{2}{x - 3}}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 9) ((x - 3) (x + 3)) \frac{4}{x^{2} - 9} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{2}{x - 3}}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{2}{x - 3}}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x - 3$ de $(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x - 3) ((x^{2} - 9) (x + 3)) \frac{2}{x - 3}}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x - 3) ((x^{2} - 9) (x + 3)) \frac{2}{x - 3}}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x + 3$ de $(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x + 3) ((x^{2} - 9) (x - 3)) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x + 3) ((x^{2} - 9) (x - 3)) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $x - 3$ de $(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x - 3) ((x^{2} - 9) (x + 3)) \frac{1}{x - 3}}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x - 3) ((x^{2} - 9) (x + 3)) \frac{1}{x - 3}}$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Factoriza $(x + 3) \cdot 2$ de $(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $(x + 3) \cdot 2$ de $(x - 3) (x + 3) \cdot 4$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 ((x - 3) \cdot 2) + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Paso 4.1.2

Factoriza $(x + 3) \cdot 2$ de $(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 ((x - 3) \cdot 2) + (x + 3) \cdot 2 (x^{2} - 9)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Paso 4.1.3

Factoriza $(x + 3) \cdot 2$ de $(x + 3) \cdot 2 ((x - 3) \cdot 2) + (x + 3) \cdot 2 (x^{2} - 9)$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 ((x - 3) \cdot 2 + x^{2} - 9)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x \cdot 2 - 3 \cdot 2 + x^{2} - 9)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Paso 4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (2 \cdot x - 3 \cdot 2 + x^{2} - 9)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Paso 4.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (2 \cdot x - 6 + x^{2} - 9)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Paso 4.5

Resta $9$ de $- 6$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (2 x + x^{2} - 15)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Paso 4.6

Reordena los términos.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x^{2} + 2 x - 15)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Paso 4.7

Factoriza $x^{2} + 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 4.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $2$ .

$- 3, 5$

Paso 4.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 ((x - 3) (x + 5))}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Factoriza $x^{2} - 9$ de $(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x^{2} - 9) (x - 3 + x + 3)}$

Paso 5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x^{2} - 3^{2}) (x - 3 + x + 3)}$

Paso 5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x - 3) (x - 3 + x + 3)}$

Paso 5.4

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x - 3) (2 x - 3 + 3)}$

Paso 5.5

Suma $- 3$ y $3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x - 3) (2 x + 0)}$

Paso 5.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x - 3) \cdot 2 x}$

Paso 6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x - 3) \cdot 2 x}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 (x - 3)) (x + 5)}{(x - 3) \cdot 2 x}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x - 3) (x + 5)}{(x - 3) \cdot 2 x}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 3) (x + 5)}{(x - 3) x}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (x + 5)}{(x - 3) x}$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 5}{x}$