Álgebra Ejemplos

$5 x^{2} - 4 y^{2} + 80 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Resta $80$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} - 4 y^{2} = - 80$

Paso 1.2

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 5 x^{2} + 4 y^{2} = 80$

Paso 1.3

Divide cada término por $80$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{5 x^{2}}{80} + \frac{4 y^{2}}{80} = \frac{80}{80}$

Paso 1.4

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 4.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {(4)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} + {(4)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(4)}^{2}}$

Paso 4.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Paso 4.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Paso 4.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} + {(4)}^{2}}$

Paso 4.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{4 \cdot 5 + {(4)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$\sqrt{20 + {(4)}^{2}}$

Paso 4.3.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{20 + 16}$

Paso 4.3.3.3

Suma $20$ y $16$ .

$\sqrt{36}$

Paso 4.3.3.4

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Paso 4.3.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$6$

Paso 5

Obtén los focos.

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Paso 5.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, 6)$

Paso 5.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 5.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, - 6)$

Paso 5.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(0, 6), (0, - 6)$

Paso 6