Álgebra Ejemplos

$- 2 x^{2} + 24 x > - 4 x + 96$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.1

Suma $4 x$ a ambos lados de la desigualdad.

$- 2 x^{2} + 24 x + 4 x > 96$

Paso 1.2

Suma $24 x$ y $4 x$ .

$- 2 x^{2} + 28 x > 96$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 2 x^{2} + 28 x = 96$

Paso 3

Resta $96$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} + 28 x - 96 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{2} + 28 x - 96$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 28 x - 96 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza $- 2$ de $28 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 14 x) - 96 = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza $- 2$ de $- 96$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 14 x) - 2 \cdot 48 = 0$

Paso 4.1.4

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 14 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 14 x) - 2 \cdot 48 = 0$

Paso 4.1.5

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2} - 14 x) - 2 (48)$ .

$- 2 (x^{2} - 14 x + 48) = 0$

Paso 4.2

Factoriza.

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Paso 4.2.1

Factoriza $x^{2} - 14 x + 48$ con el método AC.

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Paso 4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $48$ y cuya suma es $- 14$ .

$- 8, - 6$

Paso 4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 2 ((x - 8) (x - 6)) = 0$

Paso 4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (x - 8) (x - 6) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 6

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 6.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 7

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 7.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 (x - 8) (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 8, 6$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 6$

$6 < x < 8$

$x > 8$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- 2 {(0)}^{2} + 24 (0) > - 4 \cdot 0 + 96$

Paso 10.1.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $96$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $6 < x < 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $6 < x < 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 7$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $7$ en la desigualdad original.

$- 2 {(7)}^{2} + 24 (7) > - 4 \cdot 7 + 96$

Paso 10.2.3

$70$ del lado izquierdo es mayor que $68$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$- 2 {(10)}^{2} + 24 (10) > - 4 \cdot 10 + 96$

Paso 10.3.3

$40$ del lado izquierdo no es mayor que $56$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 6$ Falso

$6 < x < 8$ Verdadero

$x > 8$ Falso

$x < 6$ Falso

$6 < x < 8$ Verdadero

$x > 8$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$6 < x < 8$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$6 < x < 8$

Notación de intervalo:

$(6, 8)$

Paso 13