Álgebra Ejemplos

$2^{x + 1} + 2^{x} = 3^{y + 2} - 3^{y}$

Paso 1

Factoriza $2^{x}$ de la expresión.

$2^{x} (2 + 1)$

Paso 2

Suma $2$ y $1$ .

$2^{x} \cdot 3 = 3^{y + 2} - 3^{y}$

Paso 3

Mueve $3$ a la izquierda de $2^{x}$ .

$3 \cdot 2^{x} = 3^{y + 2} - 3^{y}$

Paso 4

Divide cada término en $3 \cdot 2^{x} = 3^{y + 2} - 3^{y}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $3 \cdot 2^{x} = 3^{y + 2} - 3^{y}$ por $3$ .

$\frac{3 \cdot 2^{x}}{3} = \frac{3^{y + 2}}{3} + \frac{- 3^{y}}{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2^{x}}{3} = \frac{3^{y + 2}}{3} + \frac{- 3^{y}}{3}$

Paso 4.2.1.2

Divide $2^{x}$ por $1$ .

$2^{x} = \frac{3^{y + 2}}{3} + \frac{- 3^{y}}{3}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{x} = \frac{3^{y + 2} - 3^{y}}{3}$

Paso 5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{3^{y + 2} - 3^{y}}{3})$

Paso 6

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (\frac{3^{y + 2} - 3^{y}}{3})$

Paso 7

Reescribe $\ln (\frac{3^{y + 2} - 3^{y}}{3})$ como $\ln (3^{y + 2} - 3^{y}) - \ln (3)$ .

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 2} - 3^{y}) - \ln (3)$

Paso 8

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1

Simplifica $\ln (3^{y + 2} - 3^{y}) - \ln (3)$ .

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Paso 8.1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) = \ln (\frac{3^{y + 2} - 3^{y}}{3})$

Paso 8.1.2

Divide la fracción $\frac{3^{y + 2} - 3^{y}}{3}$ en dos fracciones.

$x \ln (2) = \ln (\frac{3^{y + 2}}{3} + \frac{- 3^{y}}{3})$

Paso 8.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.3.1

Cancela el factor común de $3^{y + 2}$ y $3$ .

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Paso 8.1.3.1.1

Factoriza $3$ de $3^{y + 2}$ .

$x \ln (2) = \ln (\frac{3 \cdot 3^{y + 1}}{3} + \frac{- 3^{y}}{3})$

Paso 8.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x \ln (2) = \ln (\frac{3 \cdot 3^{y + 1}}{3 (1)} + \frac{- 3^{y}}{3})$

Paso 8.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x \ln (2) = \ln (\frac{3 \cdot 3^{y + 1}}{3 \cdot 1} + \frac{- 3^{y}}{3})$

Paso 8.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x \ln (2) = \ln (\frac{3^{y + 1}}{1} + \frac{- 3^{y}}{3})$

Paso 8.1.3.1.2.4

Divide $3^{y + 1}$ por $1$ .

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} + \frac{- 3^{y}}{3})$

Paso 8.1.3.2

Cancela el factor común de $3^{y}$ y $3$ .

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Paso 8.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $- 3^{y}$ .

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} + \frac{3 (- 3^{y - 1})}{3})$

Paso 8.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} + \frac{3 (- 3^{y - 1})}{3 (1)})$

Paso 8.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} + \frac{3 (- 3^{y - 1})}{3 \cdot 1})$

Paso 8.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} + \frac{- 3^{y - 1}}{1})$

Paso 8.1.3.2.2.4

Divide $- 3^{y - 1}$ por $1$ .

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} - 3^{y - 1})$

Paso 9

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} - 3^{y - 1})$ por $\ln (2)$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} - 3^{y - 1})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3^{y + 1} - 3^{y - 1})}{\ln (2)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3^{y + 1} - 3^{y - 1})}{\ln (2)}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3^{y + 1} - 3^{y - 1})}{\ln (2)}$