Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 9 x = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 9 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 9 x = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $- 5 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) + 9 x^{2} - 9 x = 0$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $9 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) + x (9 x) - 9 x = 0$

Paso 1.1.4

Factoriza $x$ de $- 9 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) + x (9 x) + x \cdot - 9 = 0$

Paso 1.1.5

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 5 x^{2}) + x (9 x) + x \cdot - 9 = 0$

Paso 1.1.6

Factoriza $x$ de $x (x^{3} - 5 x^{2}) + x (9 x)$ .

$x (x^{3} - 5 x^{2} + 9 x) + x \cdot - 9 = 0$

Paso 1.1.7

Factoriza $x$ de $x (x^{3} - 5 x^{2} + 9 x) + x \cdot - 9$ .

$x (x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 9) = 0$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 9$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1$

Paso 1.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

Paso 1.2.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.2.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3 - 9$

Paso 1.2.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 - 5 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3 - 9$

Paso 1.2.1.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 - 5 \cdot 9 + 9 \cdot 3 - 9$

Paso 1.2.1.3.4

Multiplica $- 5$ por $9$ .

$27 - 45 + 9 \cdot 3 - 9$

Paso 1.2.1.3.5

Resta $45$ de $27$ .

$- 18 + 9 \cdot 3 - 9$

Paso 1.2.1.3.6

Multiplica $9$ por $3$ .

$- 18 + 27 - 9$

Paso 1.2.1.3.7

Suma $- 18$ y $27$ .

$9 - 9$

Paso 1.2.1.3.8

Resta $9$ de $9$ .

$0$

Paso 1.2.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 9}{x - 3}$

Paso 1.2.1.5

Divide $x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 9$ por $x - 3$ .

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Paso 1.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$9$

Paso 1.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$

Paso 1.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 1.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 1.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Paso 1.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$

Paso 1.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$

Paso 1.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 1.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} + 6 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 1.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$3 x$

Paso 1.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$3 x$	-	$9$

Paso 1.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$3 x$	-	$9$

Paso 1.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$3 x$	-	$9$
							+	$3 x$	-	$9$

Paso 1.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x - 9$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$3 x$	-	$9$
							-	$3 x$	+	$9$

Paso 1.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$3 x$	-	$9$
							-	$3 x$	+	$9$
										$0$

Paso 1.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 2 x + 3$

Paso 1.2.1.6

Escribe $x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 9$ como un conjunto de factores.

$x ((x - 3) (x^{2} - 2 x + 3)) = 0$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 3) (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Paso 3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5

Establece $x^{2} - 2 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x^{2} - 2 x + 3$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.3

Resta $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.7

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 5.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 5.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 3) (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3, 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Paso 7