Álgebra Ejemplos

$\frac{2}{3} (1 - e^{- x}) \leq - 3$

Paso 1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot (1 - e^{- x})$ .

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} (- e^{- x}) \leq - 3$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} (- e^{- x}) \leq - 3$

Paso 1.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2 e^{- x}}{3} \leq - 3$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.1

Resta $\frac{2}{3}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq - 3 - \frac{2}{3}$

Paso 2.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq - 3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 2.3

Combina $- 3$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq \frac{- 3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq \frac{- 3 \cdot 3 - 2}{3}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq \frac{- 9 - 2}{3}$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de $- 9$ .

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq \frac{- 11}{3}$

Paso 2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq - \frac{11}{3}$

Paso 3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$- 2 e^{- x} \leq - 11$

Paso 4

Divide cada término en $- 2 e^{- x} \leq - 11$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término de $- 2 e^{- x} \leq - 11$ por $- 2$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 2 e^{- x}}{- 2} \geq \frac{- 11}{- 2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 e^{- x}}{- 2} \geq \frac{- 11}{- 2}$

Paso 4.2.1.2

Divide $e^{- x}$ por $1$ .

$e^{- x} \geq \frac{- 11}{- 2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$e^{- x} \geq \frac{11}{2}$

Paso 5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) \geq \ln (\frac{11}{2})$

Paso 6

Expande el lado izquierdo.

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Paso 6.1

Expande $\ln (e^{- x})$ ; para ello, mueve $- x$ fuera del logaritmo.

$- x \ln (e) \geq \ln (\frac{11}{2})$

Paso 6.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- x \cdot 1 \geq \ln (\frac{11}{2})$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- x \geq \ln (\frac{11}{2})$

Paso 7

Divide cada término en $- x \geq \ln (\frac{11}{2})$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término de $- x \geq \ln (\frac{11}{2})$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\ln (\frac{11}{2})}{- 1}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\ln (\frac{11}{2})}{- 1}$

Paso 7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{\ln (\frac{11}{2})}{- 1}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (\frac{11}{2})}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \ln (\frac{11}{2})$

Paso 7.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (\frac{11}{2})$ como $- \ln (\frac{11}{2})$ .

$x \leq - \ln (\frac{11}{2})$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - \ln (\frac{11}{2})$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \ln (\frac{11}{2})]$

Paso 9