Álgebra Ejemplos

$\tan (15) \tan (30)$

Paso 1

El valor exacto de $\tan (15)$ es $2 - \sqrt{3}$ .

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Paso 1.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\tan (45 - 30) \tan (30)$

Paso 1.2

Separa la negación.

$\tan (45 - (30)) \tan (30)$

Paso 1.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} \tan (30)$

Paso 1.4

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} \tan (30)$

Paso 1.5

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)} \tan (30)$

Paso 1.6

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)} \tan (30)$

Paso 1.7

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Paso 1.8

Simplifica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Paso 1.8.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $3$ .

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Paso 1.8.1.1

Multiplica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Paso 1.8.1.2

Combinar.

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Paso 1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Paso 1.8.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.8.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ al numerador.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Paso 1.8.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Paso 1.8.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Paso 1.8.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Paso 1.8.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.8.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Paso 1.8.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.8.5.2.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot 1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Paso 1.8.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Paso 1.8.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \tan (30)$

Paso 1.8.6

Multiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \tan (30)$

Paso 1.8.7

Multiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})} \tan (30)$

Paso 1.8.8

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}} \tan (30)$

Paso 1.8.9

Simplifica.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.8.10.1

Eleva $3 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.10.2

Eleva $3 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.11

Reescribe ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.12

Expande $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.8.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.8.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.13.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 1.8.13.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.8.13.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.8.13.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.2

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.13.3

Resta $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.14

Cancela el factor común de $12 - 6 \sqrt{3}$ y $6$ .

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Paso 1.8.14.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.14.2

Factoriza $6$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.14.3

Factoriza $6$ de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Paso 1.8.14.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.8.14.4.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)} \tan (30)$

Paso 1.8.14.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \tan (30)$

Paso 1.8.14.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1} \tan (30)$

Paso 1.8.14.4.4

Divide $2 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$(2 - \sqrt{3}) \tan (30)$

Paso 2

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$(2 - \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 4

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 5

Multiplica $- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 5.1

Combina $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Paso 5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Paso 7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Paso 7.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Paso 7.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{3} - 3^{1}}{3}$

Paso 7.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}$

Paso 7.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 3}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 \sqrt{3} - 3}{3}$

Forma decimal:

$0.15470053 \dots$