Álgebra Ejemplos

$2 x^{3} + x - 3$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Paso 3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$2 \cdot 1^{3} + 1 - 3$

Paso 3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot 1 + 1 - 3$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 1 - 3$

Paso 3.4

Suma $2$ y $1$ .

$3 - 3$

Paso 3.5

Resta $3$ de $3$ .

$0$

Paso 4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} + x - 3}{x - 1}$

Paso 5

Divide $2 x^{3} + x - 3$ por $x - 1$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} - 2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$

Paso 5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$3$

Paso 5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$3$

Paso 5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Paso 5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x - 3$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Paso 5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$
										$0$

Paso 5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} + 2 x + 3$

Paso 6

Escribe $2 x^{3} + x - 3$ como un conjunto de factores.

$(x - 1) (2 x^{2} + 2 x + 3)$