Álgebra Ejemplos

$x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + x + 6 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + x + 6 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4} - x^{3}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$x^{3} x - x^{3} - 7 x^{2} + x + 6 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} + x + 6 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x - 1) - 7 x^{2} + x + 6 = 0$

Paso 1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 7 \cdot 6 = - 42$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 1.3.1.1

Multiplica por $1$ .

$x^{3} (x - 1) - 7 x^{2} + 1 x + 6 = 0$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $1$ como $- 6$ más $7$

$x^{3} (x - 1) - 7 x^{2} + (- 6 + 7) x + 6 = 0$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (x - 1) - 7 x^{2} - 6 x + 7 x + 6 = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x^{3} (x - 1) - 7 x^{2} - 6 x + 7 x + 6 = 0$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{3} (x - 1) + x (- 7 x - 6) - (- 7 x - 6) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 7 x - 6$ .

$x^{3} (x - 1) + (- 7 x - 6) (x - 1) = 0$

Paso 1.4

Factoriza $x - 1$ de $x^{3} (x - 1) + (- 7 x - 6) (x - 1)$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $x - 1$ de $x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (- 7 x - 6) (x - 1) = 0$

Paso 1.4.2

Factoriza $x - 1$ de $(- 7 x - 6) (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 7 x - 6) = 0$

Paso 1.4.3

Factoriza $x - 1$ de $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 7 x - 6)$ .

$(x - 1) (x^{3} - 7 x - 6) = 0$

Paso 1.5

Factoriza.

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Paso 1.5.1

Reescribe $x^{3} - 7 x - 6$ en forma factorizada.

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $x^{3} - 7 x - 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.5.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Paso 1.5.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Paso 1.5.1.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.5.1.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{3} - 7 \cdot - 1 - 6$

Paso 1.5.1.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

Paso 1.5.1.1.3.3

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$- 1 + 7 - 6$

Paso 1.5.1.1.3.4

Suma $- 1$ y $7$ .

$6 - 6$

Paso 1.5.1.1.3.5

Resta $6$ de $6$ .

$0$

Paso 1.5.1.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 7 x - 6}{x + 1}$

Paso 1.5.1.1.5

Divide $x^{3} - 7 x - 6$ por $x + 1$ .

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Paso 1.5.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6$

Paso 1.5.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

Paso 1.5.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 1.5.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 1.5.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Paso 1.5.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

Paso 1.5.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

Paso 1.5.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 1.5.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 1.5.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$

Paso 1.5.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Paso 1.5.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Paso 1.5.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Paso 1.5.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x - 6$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Paso 1.5.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Paso 1.5.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - x - 6$

Paso 1.5.1.1.6

Escribe $x^{3} - 7 x - 6$ como un conjunto de factores.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x - 6)) = 0$

Paso 1.5.1.2

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 1.5.1.2.1

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 1.5.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 1.5.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 3) (x + 2))) = 0$

Paso 1.5.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) ((x + 1) (x - 3) (x + 2)) = 0$

Paso 1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (x + 1) (x - 3) (x + 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x + 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 1, 3, - 2$