Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$ $g (x) = x + 7$

Paso 1

Sustituye $x + 7$ por $f (x)$ .

$x + 7 = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 = x + 7$

Paso 2.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 - x = 7$

Paso 2.2.2

Resta $x$ de $25 x$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 = 7$

Paso 2.3

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 - 7 = 0$

Paso 2.4

Resta $7$ de $- 70$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77 = 0$

Paso 2.5

Factoriza $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.5.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1$

Paso 2.5.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

Paso 2.5.3

Sustituye $- 7$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 7$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.5.3.1

Sustituye $- 7$ en el polinomio.

${(- 7)}^{3} + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Paso 2.5.3.2

Eleva $- 7$ a la potencia de $3$ .

$- 343 + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Paso 2.5.3.3

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$- 343 + 12 \cdot 49 + 24 \cdot - 7 - 77$

Paso 2.5.3.4

Multiplica $12$ por $49$ .

$- 343 + 588 + 24 \cdot - 7 - 77$

Paso 2.5.3.5

Suma $- 343$ y $588$ .

$245 + 24 \cdot - 7 - 77$

Paso 2.5.3.6

Multiplica $24$ por $- 7$ .

$245 - 168 - 77$

Paso 2.5.3.7

Resta $168$ de $245$ .

$77 - 77$

Paso 2.5.3.8

Resta $77$ de $77$ .

$0$

Paso 2.5.4

Como $- 7$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 7$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77}{x + 7}$

Paso 2.5.5

Divide $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ por $x + 7$ .

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Paso 2.5.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$7$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$24 x$

$77$

Paso 2.5.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$

Paso 2.5.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			+	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Paso 2.5.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 7 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Paso 2.5.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Paso 2.5.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Paso 2.5.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Paso 2.5.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$35 x$

Paso 2.5.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{2} + 35 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$

Paso 2.5.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$

Paso 2.5.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Paso 2.5.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 11 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Paso 2.5.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							-	$11 x$	-	$77$

Paso 2.5.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 11 x - 77$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$

Paso 2.5.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$
										$0$

Paso 2.5.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 5 x - 11$

Paso 2.5.6

Escribe $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ como un conjunto de factores.

$(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$

Paso 2.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Paso 2.7

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.7.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 2.7.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 2.8

Establece $x^{2} + 5 x - 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.8.1

Establece $x^{2} + 5 x - 11$ igual a $0$ .

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Paso 2.8.2

Resuelve $x^{2} + 5 x - 11 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.8.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.8.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 5$ y $c = - 11$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3

Simplifica.

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Paso 2.8.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.2.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Paso 2.8.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.3

Suma $25$ y $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Paso 2.8.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.8.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.2.4.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Paso 2.8.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.4.1.3

Suma $25$ y $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Paso 2.8.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{69}}{2}$

Paso 2.8.2.4.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{69}}{2}$

Paso 2.8.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{69}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{69})}{2}$

Paso 2.8.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{69})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{69})}{2}$

Paso 2.8.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}$

Paso 2.8.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.8.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.2.5.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Paso 2.8.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.5.1.3

Suma $25$ y $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Paso 2.8.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{69}}{2}$

Paso 2.8.2.5.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{69}}{2}$

Paso 2.8.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{69}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{69})}{2}$

Paso 2.8.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (\sqrt{69})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{69})}{2}$

Paso 2.8.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Paso 2.8.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Paso 2.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$ verdadera.

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Forma decimal:

$x = - 7, 1.65331193 \dots, - 6.65331193 \dots$