Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x - 3} \div \frac{x - 5}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 5, 3$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 3}{x - 3} (x^{2} - 9)$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{x + 3}{x - 3}$ por $x^{2} - 9$ .

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 9)}{x - 3}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 3^{2})}{x - 3}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 4.3

Combina exponentes.

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Paso 4.3.1

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{1} (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 4.3.2

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 4.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 5.1.2

Divide ${(x + 3)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 3)}^{2}$

Paso 5.2

Reescribe ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$(x + 3) (x + 3)$

Paso 6

Expande $(x + 3) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Paso 7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Paso 7.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Paso 7.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Paso 7.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9$