Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(x - 1)}^{3} + 2$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int {(x - 1)}^{3} d x + \int 2 d x$

Paso 3

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{3} d u + \int 2 d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int 2 d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 2 x + C$

Paso 6

Simplifica.

$\frac{1}{4} u^{4} + 2 x + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + 2 x + C$

Paso 8

La función $F$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$F (x) = \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{4} + 2 x + C$