Álgebra Ejemplos

$\frac{\sin (\frac{11 π}{6}) - \cos (\frac{π}{6})}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$\frac{- \sin (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{6})}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Paso 1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2} - \cos (\frac{π}{6})}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Paso 1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Paso 2.2

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Paso 2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Paso 2.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{6})}$

Paso 2.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Paso 2.6

Resta $\frac{\sqrt{3}}{2}$ de $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Paso 3

Combina $- 2$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{- 2 \sqrt{3}}{2}}$

Paso 4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1

Reduce la expresión $\frac{- 2 \sqrt{3}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 (- \sqrt{3})}{2}}$

Paso 4.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 (1)}}$

Paso 4.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 \cdot 1}}$

Paso 4.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{- \sqrt{3}}{1}}$

Paso 4.2

Divide $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \sqrt{3}}$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Paso 6

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 6.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{3}}$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{\sqrt{3}})$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))$

Paso 8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Paso 8.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})$

Paso 8.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})$

Paso 8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Paso 8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Paso 8.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Paso 8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Paso 8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})$

Paso 8.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 9

Multiplica $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{(- 1 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{(- 1 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{6}$

Paso 10

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{- 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 11

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 12

Multiplica $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Paso 12.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{6}$

Paso 12.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{6}$

Paso 12.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{- \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Paso 12.4

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Paso 13

Simplifica cada término.

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Paso 13.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 13.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Paso 13.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Paso 13.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 13.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{- \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 13.1.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{- \sqrt{3} - 3^{1}}{6}$

Paso 13.1.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{- \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{6}$

Paso 13.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - 3}{6}$

Paso 14

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 14.1

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{3}$ .

$- \frac{- (\sqrt{3}) - 3}{6}$

Paso 14.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$- \frac{- (\sqrt{3}) - 1 (3)}{6}$

Paso 14.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sqrt{3}) - 1 (3)$ .

$- \frac{- (\sqrt{3} + 3)}{6}$

Paso 14.4

Simplifica la expresión.

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Paso 14.4.1

Reescribe $- (\sqrt{3} + 3)$ como $- 1 (\sqrt{3} + 3)$ .

$- \frac{- 1 (\sqrt{3} + 3)}{6}$

Paso 14.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{\sqrt{3} + 3}{6}$

Paso 14.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{3} + 3}{6}$

Paso 14.4.4

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{6}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{6}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{3} + 3}{6}$

Forma decimal:

$0.78867513 \dots$