Álgebra Ejemplos

$\sec^{2} (x) + 3 \sec (x) + 2 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Sea $u = \sec (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sec (x)$ .

$u^{2} + 3 u + 2 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $u^{2} + 3 u + 2$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u + 1) (u + 2) = 0$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + 1) (\sec (x) + 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sec (x) + 1 = 0$

$\sec (x) + 2 = 0$

Paso 3

Establece $\sec (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $\sec (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sec (x) + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\sec (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sec (x) = - 1$

Paso 3.2.2

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- 1)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

El valor exacto de $arcsec (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

Paso 3.2.4

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 3.2.5

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 3.2.6

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 3.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.2.7

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece $\sec (x) + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\sec (x) + 2$ igual a $0$ .

$\sec (x) + 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sec (x) + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\sec (x) = - 2$

Paso 4.2.2

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- 2)$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

El valor exacto de $arcsec (- 2)$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 4.2.4

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 4.2.5

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 4.2.5.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 4.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.5.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 4.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 4.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 4.2.5.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 4.2.6

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 4.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.7

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sec (x) + 1) (\sec (x) + 2) = 0$ verdadera.

$x = π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$