Álgebra Ejemplos

$\sqrt{x - 3} \leq 7$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x - 3}}^{2} \leq 7^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 3}$ como ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 7^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - 3)}^{1} \leq 7^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$x - 3 \leq 7^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x - 3 \leq 49$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 3.1

Suma $3$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \leq 49 + 3$

Paso 3.2

Suma $49$ y $3$ .

$x \leq 52$

Paso 4

Obtén el dominio de $\sqrt{x - 3} - 7$ .

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Paso 4.1

Establece el radicando en $\sqrt{x - 3}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x - 3 \geq 0$

Paso 4.2

Suma $3$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 3$

Paso 4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[3, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 3$

$3 < x < 52$

$x > 52$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(0) - 3} \leq 7$

Paso 6.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 52$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 52$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(6) - 3} \leq 7$

Paso 6.2.3

$1.7320508$ del lado izquierdo es menor que $7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 52$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 52$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 54$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $54$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(54) - 3} \leq 7$

Paso 6.3.3

$7.14142842$ del lado izquierdo es mayor que $7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 3$ Falso

$3 < x < 52$ Verdadero

$x > 52$ Falso

$x < 3$ Falso

$3 < x < 52$ Verdadero

$x > 52$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$3 \leq x \leq 52$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$3 \leq x \leq 52$

Notación de intervalo:

$[3, 52]$

Paso 9