Álgebra Ejemplos

$2 y^{2} + x + 20 y + 51 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $2 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 20 y + 51 = - 2 y^{2}$

Paso 1.1.2

Resta $20 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 51 = - 2 y^{2} - 20 y$

Paso 1.1.3

Resta $51$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2 y^{2} - 20 y - 51$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- 2 y^{2} - 20 y - 51$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 2$

$b = - 20$

$c = - 51$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 20}{2 \cdot - 2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 20$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 20$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 (- 2)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 2}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 10}{- 2}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $- 2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 10$ .

$d = \frac{- 2 (5)}{- 2}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 2$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$d = 5$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 51 - \frac{{(- 20)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 20$ a la potencia de $2$ .

$e = - 51 - \frac{400}{4 \cdot - 2}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$e = - 51 - \frac{400}{- 8}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $400$ por $- 8$ .

$e = - 51 - - 50$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 50$ .

$e = - 51 + 50$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $- 51$ y $50$ .

$e = - 1$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 2 {(y + 5)}^{2} - 1$ .

$- 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 2$

$h = - 1$

$k = - 5$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 1, - 5)$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Paso 4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{8}$

Paso 5

Obtén la directriz.

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Paso 5.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{7}{8}$

Paso 6