Álgebra Ejemplos

${(5 \cos (x) - 3 \sin (x))}^{2} + 16 \sin^{2} (x) = 25$

Paso 1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

${(5 \cos (x) - 3 \sin (x))}^{2} + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2

Simplifica ${(5 \cos (x) - 3 \sin (x))}^{2} + 16 \sin^{2} (x) - 25$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(5 \cos (x) - 3 \sin (x))}^{2}$ como $(5 \cos (x) - 3 \sin (x)) (5 \cos (x) - 3 \sin (x))$ .

$(5 \cos (x) - 3 \sin (x)) (5 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.2

Expande $(5 \cos (x) - 3 \sin (x)) (5 \cos (x) - 3 \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cos (x) (5 \cos (x) - 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cos (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cos (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Multiplica $5 \cos (x) (5 \cos (x))$ .

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Paso 2.1.3.1.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$25 \cos (x) \cos (x) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$25 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.1.1.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$25 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$25 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$25 \cos^{2} (x) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.1.4

Multiplica $- 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ .

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Paso 2.1.3.1.4.1

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 \sin (x) \sin (x) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.1.4.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.1.4.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 {\sin (x)}^{1 + 1} + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.2

Reordena los factores de $- 15 \sin (x) \cos (x)$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.1.3.3

Resta $15 \cos (x) \sin (x)$ de $- 15 \cos (x) \sin (x)$ .

$25 \cos^{2} (x) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Paso 2.2

Mueve $- 25$ .

$25 \cos^{2} (x) - 25 - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.3

Reordena $25 \cos^{2} (x)$ y $- 25$ .

$- 25 + 25 \cos^{2} (x) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.4

Factoriza $- 25$ de $- 25$ .

$- 25 (1) + 25 \cos^{2} (x) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.5

Factoriza $- 25$ de $25 \cos^{2} (x)$ .

$- 25 (1) - 25 (- \cos^{2} (x)) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 25$ de $- 25 (1) - 25 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 25 (1 - \cos^{2} (x)) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.7

Aplica la identidad pitagórica.

$- 25 \sin^{2} (x) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.8

Suma $- 25 \sin^{2} (x)$ y $9 \sin^{2} (x)$ .

$- 30 \cos (x) \sin (x) - 16 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.9

Combina los términos opuestos en $- 30 \cos (x) \sin (x) - 16 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x)$ .

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Paso 2.9.1

Suma $- 16 \sin^{2} (x)$ y $16 \sin^{2} (x)$ .

$- 30 \cos (x) \sin (x) + 0 = 0$

Paso 2.9.2

Suma $- 30 \cos (x) \sin (x)$ y $0$ .

$- 30 \cos (x) \sin (x) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Paso 4

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 4.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 4.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 4.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 4.2.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 5.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 5.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 30 \cos (x) \sin (x) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$