Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{\sqrt{y + 6}} = - \frac{3}{y + 2}$

Paso 1

Multiplicación cruzada.

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Paso 1.1

Aplica la multiplicación cruzada; para ello, haz que el producto del numerador del lado derecho y el denominador del lado izquierdo sean iguales al producto del numerador del lado izquierdo y el denominador del lado derecho.

$- 3 \cdot \sqrt{y + 6} = 1 \cdot (y + 2)$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Multiplica $- 3$ por $\sqrt{y + 6}$ .

$- 3 \sqrt{y + 6} = 1 \cdot (y + 2)$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Multiplica $y + 2$ por $1$ .

$- 3 \sqrt{y + 6} = y + 2$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 3 \sqrt{y + 6})}^{2} = {(y + 2)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 6}$ como ${(y + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3 {(y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y + 2)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(- 3 {(y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 3 {(y + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3)}^{2} {({(y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$9 {({(y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$9 {(y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$9 {(y + 6)}^{1} = {(y + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.4

Simplifica.

$9 (y + 6) = {(y + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y + 9 \cdot 6 = {(y + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $9$ por $6$ .

$9 y + 54 = {(y + 2)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(y + 2)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(y + 2)}^{2}$ como $(y + 2) (y + 2)$ .

$9 y + 54 = (y + 2) (y + 2)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(y + 2) (y + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y + 54 = y (y + 2) + 2 (y + 2)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y + 54 = y \cdot y + y \cdot 2 + 2 (y + 2)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y + 54 = y \cdot y + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$9 y + 54 = y^{2} + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$9 y + 54 = y^{2} + 2 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$9 y + 54 = y^{2} + 2 y + 2 y + 4$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $2 y$ y $2 y$ .

$9 y + 54 = y^{2} + 4 y + 4$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$y^{2} + 4 y + 4 = 9 y + 54$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $9 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + 4 y + 4 - 9 y = 54$

Paso 4.2.2

Resta $9 y$ de $4 y$ .

$y^{2} - 5 y + 4 = 54$

Paso 4.3

Resta $54$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 5 y + 4 - 54 = 0$

Paso 4.4

Resta $54$ de $4$ .

$y^{2} - 5 y - 50 = 0$

Paso 4.5

Factoriza $y^{2} - 5 y - 50$ con el método AC.

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Paso 4.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 50$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 10, 5$

Paso 4.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(y - 10) (y + 5) = 0$

Paso 4.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 10 = 0$

$y + 5 = 0$

Paso 4.7

Establece $y - 10$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.7.1

Establece $y - 10$ igual a $0$ .

$y - 10 = 0$

Paso 4.7.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 10$

Paso 4.8

Establece $y + 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.8.1

Establece $y + 5$ igual a $0$ .

$y + 5 = 0$

Paso 4.8.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 5$

Paso 4.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y - 10) (y + 5) = 0$ verdadera.

$y = 10, - 5$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{1}{\sqrt{y + 6}} = - \frac{3}{y + 2}$ sea verdadera.

$y = - 5$