Álgebra Ejemplos

$\frac{- 2}{x^{2} - 2 x - 3} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{- 2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

Paso 1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

Paso 1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 3^{2}}$

Paso 1.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 3) (x + 1) (x + 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2}{(x - 3) (x + 1)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- \frac{2 (x + 3)}{(x - 3) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$- \frac{2 (x + 3)}{(x - 3) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 3) (x + 1) (x + 3)$ .

$- \frac{2 (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x + 3) (x - 3) (x + 1)$ .

$- \frac{2 (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 (x + 3) + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 3 + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 2 x - 6 + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Paso 6.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{- 2 x - 6 + 3 x + 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Paso 6.5

Suma $- 2 x$ y $3 x$ .

$\frac{x - 6 + 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Paso 6.6

Suma $- 6$ y $3$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{(x + 1) (x + 3)}$