Álgebra Ejemplos

$\log (6 x + 5) - \log (3) = \log (2) - \log (x)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{6 x + 5}{3}) = \log (2) - \log (x)$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{6 x + 5}{3}) = \log (\frac{2}{x})$

Paso 3

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{6 x + 5}{3} = \frac{2}{x}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$(6 x + 5) x = 3 \cdot 2$

Paso 4.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica $(6 x + 5) x$ .

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Paso 4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x \cdot x + 5 x = 3 \cdot 2$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$6 (x \cdot x) + 5 x = 3 \cdot 2$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$6 x^{2} + 5 x = 3 \cdot 2$

Paso 4.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + 5 x = 6$

Paso 4.2.3

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} + 5 x - 6 = 0$

Paso 4.2.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.2.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 4.2.4.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$6 x^{2} + 5 (x) - 6 = 0$

Paso 4.2.4.1.2

Reescribe $5$ como $- 4$ más $9$

$6 x^{2} + (- 4 + 9) x - 6 = 0$

Paso 4.2.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} - 4 x + 9 x - 6 = 0$

Paso 4.2.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(6 x^{2} - 4 x) + 9 x - 6 = 0$

Paso 4.2.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (3 x - 2) + 3 (3 x - 2) = 0$

Paso 4.2.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (2 x + 3) = 0$

Paso 4.2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Paso 4.2.6

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.6.1

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 4.2.6.2

Resuelve $3 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.6.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 4.2.6.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.2.6.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 4.2.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 4.2.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 4.2.7

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.7.1

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Paso 4.2.7.2

Resuelve $2 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.7.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 3$

Paso 4.2.7.2.2

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.7.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 4.2.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 4.2.7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Paso 4.2.7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.7.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 4.2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 2) (2 x + 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2}{3}, - \frac{3}{2}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (6 x + 5) - \log (3) = \log (2) - \log (x)$ sea verdadera.

$x = \frac{2}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{2}{3}$

Forma decimal:

$x = 0.\overline{6}$