Álgebra Ejemplos

$x^{- \frac{2}{3}} + x^{- \frac{1}{3}} - 30 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{- \frac{2}{3}}$ como ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2}$ .

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2} + x^{- \frac{1}{3}} - 30 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{- \frac{1}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$u^{2} + u - 30 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} + u - 30$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 30$ y cuya suma es $1$ .

$- 5, 6$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 5) (u + 6) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$(x^{- \frac{1}{3}} - 5) (x^{- \frac{1}{3}} + 6) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 5 = 0$

$x^{- \frac{1}{3}} + 6 = 0$

Paso 3

Establece $x^{- \frac{1}{3}} - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{- \frac{1}{3}} - 5$ igual a $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 5 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{- \frac{1}{3}} - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{- \frac{1}{3}} = 5$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $- 3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = 5^{- 3}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = 5^{- 3}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = 5^{- 3}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = 5^{- 3}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = 5^{- 3}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$x^{- 1 \cdot - 1} = 5^{- 3}$

Paso 3.2.3.1.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{1} = 5^{- 3}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 5^{- 3}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Simplifica $5^{- 3}$ .

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Paso 3.2.3.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{5^{3}}$

Paso 3.2.3.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$x = \frac{1}{125}$

Paso 4

Establece $x^{- \frac{1}{3}} + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{- \frac{1}{3}} + 6$ igual a $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} + 6 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{- \frac{1}{3}} + 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{- \frac{1}{3}} = - 6$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $- 3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = {(- 6)}^{- 3}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = {(- 6)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = {(- 6)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = {(- 6)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = {(- 6)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$x^{- 1 \cdot - 1} = {(- 6)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{1} = {(- 6)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 6)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Simplifica ${(- 6)}^{- 3}$ .

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Paso 4.2.3.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{{(- 6)}^{3}}$

Paso 4.2.3.2.1.2

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$x = \frac{1}{- 216}$

Paso 4.2.3.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{216}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{- \frac{1}{3}} - 5) (x^{- \frac{1}{3}} + 6) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{125}, - \frac{1}{216}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{125}, - \frac{1}{216}$

Forma decimal:

$x = 0.008, - 0.004\overline{629}$