Álgebra Ejemplos

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Paso 1

Reemplaza $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sqrt{2} (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Paso 2.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Paso 3

Reordena el polinomio.

$\sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) + \sqrt{2} = 0$

Paso 4

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$\sqrt{2} (- {(u)}^{2}) + u + \sqrt{2} = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = - \sqrt{2}$ , $b = 1$ y $c = \sqrt{2}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.3

Multiplica $4 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Paso 7.1.3.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.4.5

Evalúa el exponente.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.6

Suma $1$ y $8$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.7

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$u = \frac{- 1 \pm 3}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 7.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

Paso 7.4

Multiplica $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 7.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.5.1

Multiplica $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 7.5.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 7.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 7.5.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 7.5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 7.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 7.5.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.5.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.5.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.5.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.5.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.5.7.4.1

Cancela el factor común.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.5.7.4.2

Reescribe la expresión.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.5.7.5

Evalúa el exponente.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Paso 7.7

Reordena los factores en $\frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ .

$u = \frac{\sqrt{2} (1 \pm 3)}{4}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 9

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 10

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 11

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \sqrt{2}$ .

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Paso 11.1

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\sqrt{2}$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 12

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 12.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 12.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 12.3

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Paso 12.4

Simplifica $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 12.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 12.4.2

Combina fracciones.

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Paso 12.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 12.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Paso 12.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.4.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Paso 12.4.3.2

Resta $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 12.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 12.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 12.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 12.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 12.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 12.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$