Álgebra Ejemplos

$\ln (2 y - 5) + \ln (2) = 5 x + \ln (5 x)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 y - 5) \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (2 y \cdot 2 - 5 \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Paso 1.3

Multiplica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\ln (4 y - 5 \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Paso 1.3.2

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\ln (4 y - 10) = 5 x + \ln (5 x)$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (4 y - 10) - \ln (5 x) = 5 x$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4 y - 10}{5 x}) = 5 x$

Paso 4

Factoriza $2$ de $4 y - 10$ .

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $4 y$ .

$\ln (\frac{2 (2 y) - 10}{5 x}) = 5 x$

Paso 4.2

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\ln (\frac{2 (2 y) + 2 (- 5)}{5 x}) = 5 x$

Paso 4.3

Factoriza $2$ de $2 (2 y) + 2 (- 5)$ .

$\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x}) = 5 x$

Paso 5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x})} = e^{5 x}$

Paso 6

Reescribe $\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x}) = 5 x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5 x} = \frac{2 (2 y - 5)}{5 x}$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} = e^{5 x}$ .

$\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} = e^{5 x}$

Paso 7.2

Multiplica ambos lados por $5 x$ .

$\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} (5 x) = e^{5 x} (5 x)$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1.1

Simplifica $\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} (5 x)$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 x} x = e^{5 x} (5 x)$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.3.1.1.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 (x)} x = e^{5 x} (5 x)$

Paso 7.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 x} x = e^{5 x} (5 x)$

Paso 7.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (2 y - 5)}{x} x = e^{5 x} (5 x)$

Paso 7.3.1.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 y - 5)}{x} x = e^{5 x} (5 x)$

Paso 7.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$2 (2 y - 5) = e^{5 x} (5 x)$

Paso 7.3.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 5 = e^{5 x} (5 x)$

Paso 7.3.1.1.5

Multiplica.

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Paso 7.3.1.1.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 5 = e^{5 x} (5 x)$

Paso 7.3.1.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$4 y - 10 = e^{5 x} (5 x)$

Paso 7.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.1

Simplifica $e^{5 x} (5 x)$ .

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Paso 7.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 y - 10 = 5 e^{5 x} x$

Paso 7.3.2.1.2

Reordena los factores en $5 e^{5 x} x$ .

$4 y - 10 = 5 x e^{5 x}$

Paso 7.4

Resuelve $y$

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Paso 7.4.1

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y = 5 x e^{5 x} + 10$

Paso 7.4.2

Divide cada término en $4 y = 5 x e^{5 x} + 10$ por $4$ y simplifica.

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Paso 7.4.2.1

Divide cada término en $4 y = 5 x e^{5 x} + 10$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Paso 7.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Paso 7.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Paso 7.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.2.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $4$ .

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Paso 7.4.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 (5)}{4}$

Paso 7.4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 7.4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 7.4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{5}{2}$