Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{x + 1}{x + 3}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x + 1}{x + 3}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{x + 1}{x + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x + 1}{x + 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 1) (x + 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x + 1}{x + 3}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1)}$

Paso 3.2

Reordena los factores de $(x + 3) (x + 1)$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + 2 - (x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 2 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 2 + (- x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.3

Expande $(- x - 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 2 - x (x + 1) - 1 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 2 - x \cdot x - x \cdot 1 - 1 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 2 - x \cdot x - x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x + 2 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.4.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - x - 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.4.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - 2 x - 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.5

Resta $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 2 - x^{2} - 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.6

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{- x - x^{2} + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 5.7

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} - x + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - x + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 6.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (x) + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 6.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (x)$ .

$\frac{- (x^{2} + x) + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 6.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + x) - 1 (- 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 6.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + x - 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 6.6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.6.1

Reescribe $- (x^{2} + x - 1)$ como $- 1 (x^{2} + x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x - 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 6.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} + x - 1}{(x + 1) (x + 3)}$