Álgebra Ejemplos

$16 x^{4} + 31 x^{2} = 2$

Paso 1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$16 x^{4} + 31 x^{2} - 2 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$16 {(x^{2})}^{2} + 31 x^{2} - 2 = 0$

Paso 2.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$16 u^{2} + 31 u - 2 = 0$

Paso 2.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 16 \cdot - 2 = - 32$ y cuya suma es $b = 31$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $31$ de $31 u$ .

$16 u^{2} + 31 (u) - 2 = 0$

Paso 2.3.1.2

Reescribe $31$ como $- 1$ más $32$

$16 u^{2} + (- 1 + 32) u - 2 = 0$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 u^{2} - 1 u + 32 u - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(16 u^{2} - 1 u) + 32 u - 2 = 0$

Paso 2.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (16 u - 1) + 2 (16 u - 1) = 0$

Paso 2.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $16 u - 1$ .

$(16 u - 1) (u + 2) = 0$

Paso 2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(16 x^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 2.5

Reescribe $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$({(4 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 2.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$({(4 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 2.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4 x$ y $b = 1$ .

$(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 4

Establece $4 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $4 x + 1$ igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $4 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $4 x = - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $4 x = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{4}$

Paso 5

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 6

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x^{2} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 2$

Paso 6.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Paso 6.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Paso 6.2.3.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Paso 6.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Paso 6.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Paso 6.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{2}$

Paso 6.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{2}$

Paso 6.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$