Álgebra Ejemplos

${(2 x^{3} + 1)}^{5}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(2 x^{3} + 1)}^{5}$ , $n = 5$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $6$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $2 x^{3}$ y $b$ en la expresión $1$ .

$1 {(2 x^{3})}^{5} {(1)}^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica $1$ por ${(1)}^{0}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1

Mueve ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.1.2

Multiplica ${(1)}^{0}$ por $1$ .

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Paso 4.1.2.1

Eleva $1$ a la potencia de $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1^{0 + 1} {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.1.3

Suma $0$ y $1$ .

$1^{1} {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.2

Simplifica $1^{1} {(2 x^{3})}^{5}$ .

${(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.3

Aplica la regla del producto a $2 x^{3}$ .

$2^{5} {(x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$32 {(x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{5}$ .

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Paso 4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{3 \cdot 5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.5.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$32 x^{15} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.6

Aplica la regla del producto a $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} + 5 (2^{4} {(x^{3})}^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.7

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$32 x^{15} + 5 (16 {(x^{3})}^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.8

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{4}$ .

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Paso 4.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} + 5 (16 x^{3 \cdot 4}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.8.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$32 x^{15} + 5 (16 x^{12}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.9

Multiplica $16$ por $5$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.10

Evalúa el exponente.

$32 x^{15} + 80 x^{12} \cdot 1 + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.11

Multiplica $80$ por $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.12

Aplica la regla del producto a $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (2^{3} {(x^{3})}^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.13

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (8 {(x^{3})}^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.14

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{3}$ .

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Paso 4.14.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (8 x^{3 \cdot 3}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.14.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (8 x^{9}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.15

Multiplica $8$ por $10$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} \cdot 1 + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.17

Multiplica $80$ por $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.18

Aplica la regla del producto a $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (2^{2} {(x^{3})}^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.19

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (4 {(x^{3})}^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.20

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 4.20.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (4 x^{3 \cdot 2}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.20.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (4 x^{6}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.21

Multiplica $4$ por $10$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.22

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} \cdot 1 + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.23

Multiplica $40$ por $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.24

Simplifica.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 5 (2 x^{3}) {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.25

Multiplica $2$ por $5$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.26

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} \cdot 1 + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.27

Multiplica $10$ por $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Paso 4.28

Multiplica $1$ por ${(1)}^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.28.1

Mueve ${(1)}^{5}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + {(1)}^{5} \cdot 1 {(2 x^{3})}^{0}$

Paso 4.28.2

Multiplica ${(1)}^{5}$ por $1$ .

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Paso 4.28.2.1

Eleva $1$ a la potencia de $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + {(1)}^{5} \cdot 1^{1} {(2 x^{3})}^{0}$

Paso 4.28.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1^{5 + 1} {(2 x^{3})}^{0}$

Paso 4.28.3

Suma $5$ y $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1^{6} {(2 x^{3})}^{0}$

Paso 4.29

Simplifica $1^{6} {(2 x^{3})}^{0}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1^{6}$

Paso 4.30

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1$