Álgebra Ejemplos

$f (r) = 4 π r^{2}$

Paso 1

Escribe $f (r) = 4 π r^{2}$ como una ecuación.

$y = 4 π r^{2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$r = 4 π y^{2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $4 π y^{2} = r$ .

$4 π y^{2} = r$

Paso 3.2

Divide cada término en $4 π y^{2} = r$ por $4 π$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $4 π y^{2} = r$ por $4 π$ .

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

Paso 3.2.2.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{r}{4 π}$

Paso 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $\frac{r}{4 π}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $r$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{4 π}}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4 π$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{2^{2} π}}$

Paso 3.4.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} r}{2^{2} π}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}}$

Paso 3.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{r}{π}}$

Paso 3.4.3

Reescribe $\sqrt{\frac{r}{π}}$ como $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$

Paso 3.4.4

Multiplica $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ por $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

Paso 3.4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ por $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

Paso 3.4.5.2

Eleva $\sqrt{π}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

Paso 3.4.5.3

Eleva $\sqrt{π}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

Paso 3.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

Paso 3.4.5.6

Reescribe ${\sqrt{π}}^{2}$ como $π$ .

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Paso 3.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{π}$ como $π^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{1}}$

Paso 3.4.5.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π}$

Paso 3.4.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r π}}{π}$

Paso 3.4.7

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{r π}}{π}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (r)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ es la inversa de $f (r) = 4 π r^{2}$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (r) = 4 π r^{2}$ y $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (r) = 4 π r^{2}$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{r π}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$r π \geq 0$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $r π \geq 0$ por $π$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $r π \geq 0$ por $π$ .

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r \geq \frac{0}{π}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

Divide $0$ por $π$ .

$r \geq 0$

Paso 5.3.3

El dominio son todos los valores de $r$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 5.4

Obtén el dominio de $f (r) = 4 π r^{2}$ .

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Paso 5.4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5.5

Como el dominio de $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ es el rango de $f (r) = 4 π r^{2}$ y el rango de $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ es el dominio de $f (r) = 4 π r^{2}$ , entonces $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ es la inversa de $f (r) = 4 π r^{2}$ .

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Paso 6