Álgebra Ejemplos

$\frac{5 x^{2} - 19 x + 12}{10 x - 30} \div (16 - 25 x^{2})$

Paso 1

Reescribe la división como una fracción.

$\frac{\frac{5 x^{2} - 19 x + 12}{10 x - 30}}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{5 x^{2} - 19 x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 12 = 60$ y cuya suma es $b = - 19$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 19$ de $- 19 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 19 (x) + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 19$ como $- 4$ más $- 15$

$\frac{5 x^{2} + (- 4 - 15) x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 15 x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) - 15 x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (5 x - 4) - 3 (5 x - 4)}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x - 4$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Factoriza $10$ de $10 x - 30$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $10$ de $10 x$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 (x) - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 4.1.2

Factoriza $10$ de $- 30$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 x + 10 \cdot - 3} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 4.1.3

Factoriza $10$ de $10 x + 10 \cdot - 3$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 (x - 3)} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 (x - 3)} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{4^{2} - 25 x^{2}}$

Paso 5.2

Reescribe $25 x^{2}$ como ${(5 x)}^{2}$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{4^{2} - {(5 x)}^{2}}$

Paso 5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = 5 x$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{(4 + 5 x) (4 - (5 x))}$

Paso 5.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{(4 + 5 x) (4 - 5 x)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{5 x - 4}{10}$ por $\frac{1}{(4 + 5 x) (4 - 5 x)}$ .

$\frac{5 x - 4}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $5 x - 4$ y $4 - 5 x$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $- 1$ de $5 x$ .

$\frac{- (- 5 x) - 4}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Paso 6.2.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{- (- 5 x) - 1 (4)}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Paso 6.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 5 x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (- 5 x + 4)}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Paso 6.2.4

Reescribe $- (- 5 x + 4)$ como $- 1 (- 5 x + 4)$ .

$\frac{- 1 (- 5 x + 4)}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Paso 6.2.5

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (- 5 x + 4)}{10 (4 + 5 x) (- 5 x + 4)}$

Paso 6.2.6

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- 5 x + 4)}{10 (4 + 5 x) (- 5 x + 4)}$

Paso 6.2.7

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{10 (4 + 5 x)}$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{10 (4 + 5 x)}$