Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Paso 1

Factoriza $(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Paso 1.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Paso 1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Paso 2

Factoriza $(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1^{2}) (10 x^{3} - 15 x)}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Paso 2.3

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Factoriza $5 x$ de $10 x^{3} - 15 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Factoriza $5 x$ de $10 x^{3}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) - 15 x)}$

Paso 2.3.1.2

Factoriza $5 x$ de $- 15 x$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3))}$

Paso 2.3.1.3

Factoriza $5 x$ de $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3)$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Paso 2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Paso 4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Paso 5

Mueve $5$ a la izquierda de $x - 1$ .

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 \cdot ((x - 1) (2 x^{2} - 3))}$

Paso 6

Multiplica $5$ por $x - 1$ .

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$

Paso 7

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x + 1, x$

Paso 8

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 8.3

Sustituye $- 1$ por $x$ en $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Sustituye $- 1$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{{(- 1 - 4)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Paso 8.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1.1

Resta $4$ de $- 1$ .

$\frac{{(- 5)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Paso 8.3.2.1.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{25}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Paso 8.3.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.2.1

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{25}{5 \cdot - 2 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Paso 8.3.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$\frac{25}{- 10 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Paso 8.3.2.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{25}{- 10 (2 \cdot 1 - 3)}$

Paso 8.3.2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{25}{- 10 (2 - 3)}$

Paso 8.3.2.2.5

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{25}{- 10 \cdot - 1}$

Paso 8.3.2.3

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$\frac{25}{10}$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de $25$ y $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.4.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{5 (5)}{10}$

Paso 8.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.4.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{2}$

Paso 8.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 8.5

Sustituye $0$ por $x$ en $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1

Sustituye $0$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{{(0 - 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Paso 8.5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.2.1.1

Resta $4$ de $0$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Paso 8.5.2.1.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Paso 8.5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.2.2.1

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{16}{5 \cdot - 1 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Paso 8.5.2.2.2

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.2.2.2.1

Factoriza el negativo.

$\frac{16}{- (5 (2 \cdot 0^{2} - 3))}$

Paso 8.5.2.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Paso 8.5.2.2.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0 - 3)}$

Paso 8.5.2.2.3.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{16}{- 5 (0 - 3)}$

Paso 8.5.2.2.4

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{16}{- 5 \cdot - 3}$

Paso 8.5.2.3

Multiplica $- 5$ por $- 3$ .

$\frac{16}{15}$

Paso 8.6

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(- 1, \frac{5}{2}), (0, \frac{16}{15})$

Paso 9