Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7} \geq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} + x - 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + x - 6$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 3$

Paso 7

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 2, - 3$

$x = 7$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 2, - 3, 7$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 7 = 0$

Paso 10.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 6}{(- 6) - 7} \geq 0$

Paso 12.1.3

$- 1.\overline{846153}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 6}{(0) - 7} \geq 0$

Paso 12.2.3

$0.\overline{857142}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 - 6}{(4) - 7} \geq 0$

Paso 12.3.3

$- 4.\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\frac{{(10)}^{2} + 10 - 6}{(10) - 7} \geq 0$

Paso 12.4.3

$34.\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 \leq x \leq 2$ o $x > 7$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 3 \leq x \leq 2 or x > 7$

Notación de intervalo:

$[- 3, 2] \cup (7, \infty)$

Paso 15